Differenti definizioni di continuità
in letteratura ho trovato due differenti definizioni di continuità:
1) definizione di continuità distinta da quella di limite, ma analoga, entrambe utilizzano il noto formalismo epsilon-delta di Cauchy.
direttamente dalla definizione di continuità si ha che in un punto isolato una funzione è sempre continua.
viene espresso un teorema caratterizzante la continuità nei punti di accumulazione:
sia $x_0$ un punto di accumulazione per $f(x)$, allora
$lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0) rArr f(x)$ è continua in $x_0$
2) la definizione di continuità si appoggia sulla definizione di limite tramite il teorema sovraesposto, che è quindi una definizione in questo caso, e non un teorema:
in un punto di accumulazione $x_0$ $f(x)$ è continua se $lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$
invece nei punti isolati $x:0$ $f(x)$ qualsiasi funzione è assunta essere continua per definizione.
immagino queste due definizioni siano equivalenti per essere entrambe presenti in letteratura, ma la questione mi incuriosisce, perché alcuni autori preferiscono una invece che l'altra? sono assolutamente equivalenti?
la prima definizione la ho trovata in un testo di analisi 1, è fondata quindi sulla metrica indotta in $RR$ dal valore assoluto (la cosiddetta "topologia della retta reale" mi pare di capire), ma credo valga in qualsiasi spazio metrico.
mi viene da considerare più elegante la prima definizione in quanto definisce in modo distinto le nozioni di continuità e di limite, e il collegamento vale solo nei punti di accumulazione tramite un teorema.
1) definizione di continuità distinta da quella di limite, ma analoga, entrambe utilizzano il noto formalismo epsilon-delta di Cauchy.
direttamente dalla definizione di continuità si ha che in un punto isolato una funzione è sempre continua.
viene espresso un teorema caratterizzante la continuità nei punti di accumulazione:
sia $x_0$ un punto di accumulazione per $f(x)$, allora
$lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0) rArr f(x)$ è continua in $x_0$
2) la definizione di continuità si appoggia sulla definizione di limite tramite il teorema sovraesposto, che è quindi una definizione in questo caso, e non un teorema:
in un punto di accumulazione $x_0$ $f(x)$ è continua se $lim_(x->x_0) f(x)=f(x_0)$
invece nei punti isolati $x:0$ $f(x)$ qualsiasi funzione è assunta essere continua per definizione.
immagino queste due definizioni siano equivalenti per essere entrambe presenti in letteratura, ma la questione mi incuriosisce, perché alcuni autori preferiscono una invece che l'altra? sono assolutamente equivalenti?
la prima definizione la ho trovata in un testo di analisi 1, è fondata quindi sulla metrica indotta in $RR$ dal valore assoluto (la cosiddetta "topologia della retta reale" mi pare di capire), ma credo valga in qualsiasi spazio metrico.
mi viene da considerare più elegante la prima definizione in quanto definisce in modo distinto le nozioni di continuità e di limite, e il collegamento vale solo nei punti di accumulazione tramite un teorema.
Risposte
"axpgn":
Ce ne sono altre ...
Cordialmente, Alex
lì gugo ha riportato la prima definizione del mio post nella equivalente forma alternativa della trattazione con gli intorni.
quindi 3 definizioni, di cui una, quella con gli intorni, è solo un modo diverso di esprimere la prima.
Ma pure quella con il limite è solo "un modo diverso di esprimere la prima". Sono varie definizioni, tutte equivalenti, è una cosa molto comune in matematica.
Comunque, a livello personale posso dire che la definizione con il limite è un po' "la definizione degli esercizi di analisi 1", perché si usa essenzialmente solo in quel contesto. Poi c'è la definizione "epsilon-delta" che è un po' la definizione dell'analisi, perché si basa sulle disuguaglianze. (In fondo, una buona definizione di "analisi matematica" è "quella roba che si basa sulle disuguaglianze"). E infine c'è la definizione della topologia, quella con le controimmagini, che è adatta ai ragionamenti astratti.
Queste, naturalmente, sono solo chiacchiere. A livello formale, le varie definizioni sono equivalenti e quindi sono la stessa cosa.
Comunque, a livello personale posso dire che la definizione con il limite è un po' "la definizione degli esercizi di analisi 1", perché si usa essenzialmente solo in quel contesto. Poi c'è la definizione "epsilon-delta" che è un po' la definizione dell'analisi, perché si basa sulle disuguaglianze. (In fondo, una buona definizione di "analisi matematica" è "quella roba che si basa sulle disuguaglianze"). E infine c'è la definizione della topologia, quella con le controimmagini, che è adatta ai ragionamenti astratti.
Queste, naturalmente, sono solo chiacchiere. A livello formale, le varie definizioni sono equivalenti e quindi sono la stessa cosa.
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