Diffeomorfismo
Leggendo il mio libro di analisi, mi è venuto un dubbio sulla seguente proposizione:
" Sia f un diffeomorfismo da un aperto X di R^n in R^k. Allora n <= k e l'applicazione lineare tangente a f è iniettiva (cioè di rango massimo) per ogni x in X. "
Quindi il diffeomorfismo esiste solo se va da spazi di dimensione più piccola in spazi di dimensione maggiore o uguale.
Però la cosa non mi sembra così banale, in quanto io so che non esistono funzioni continue con inversa bigettiva tra spazi di dimensione diversa (cioè due spazi di dimensione diversa non sono omeomorfi), ma invece sembrerebbe che, se lo spazio di arrivo ha dimensione maggiore o uguale di quello di partenza, può esistere un diffemorfismo (e dunque anche un omeomorfismo) tra i due spazi.
Non è una contraddizione?
" Sia f un diffeomorfismo da un aperto X di R^n in R^k. Allora n <= k e l'applicazione lineare tangente a f è iniettiva (cioè di rango massimo) per ogni x in X. "
Quindi il diffeomorfismo esiste solo se va da spazi di dimensione più piccola in spazi di dimensione maggiore o uguale.
Però la cosa non mi sembra così banale, in quanto io so che non esistono funzioni continue con inversa bigettiva tra spazi di dimensione diversa (cioè due spazi di dimensione diversa non sono omeomorfi), ma invece sembrerebbe che, se lo spazio di arrivo ha dimensione maggiore o uguale di quello di partenza, può esistere un diffemorfismo (e dunque anche un omeomorfismo) tra i due spazi.
Non è una contraddizione?
Risposte
Un diffeomorfismo è definito solo tra spazi della stessa dimensione (ed è anche un omeomorfismo).
E' quello che ho pensato anche io, ma sul mio libro c'è scritto in questo modo ed in classe ci è stato detto lo stesso!
Ma stavate introducendo le sottovarietà $text{m-dimensionali di }RR^n$?
Sì, nel capitolo si parla anche di m-sottovarietà in R^n, perché?
Perchè un paramatrizzazione $phi$ di una sottovarietà $text{m-dimensionale di } RR^n$ è un'applicazione molto simile ad un diffeomorfismo (ma non lo è in quanto $phi:A->B$ $A$ aperto di $RR^m$ e $B$ in $RR^n$ con $0
$phi$ deve essere un omeomorfismo differenziabile e inoltre $rank(phi'(t))=m$ (ovvero deve avere il rango massimo)!
$phi$ deve essere un omeomorfismo differenziabile e inoltre $rank(phi'(t))=m$ (ovvero deve avere il rango massimo)!
Ok, mi torna quello che hai detto, però non capisco ancora come faccia ad esistere un diffeomorfismo tra spazi di dimensione diversa, tanto più che nel libro c'è scritto anche "..quindi f è un diffeomorfismo da X in Y se la sua inversa lo è da Y in X"
Cioè sembrerebbe che, implicitamente, si voglia far capire al lettore che un diffeomorfismo esiste solo in spazi di dimensione uguale, ma poi, più avanti, afferma esplicitamente che può esistere se lo spazio di partenza ha dimensione minore di quello di arrivo.
Cioè sembrerebbe che, implicitamente, si voglia far capire al lettore che un diffeomorfismo esiste solo in spazi di dimensione uguale, ma poi, più avanti, afferma esplicitamente che può esistere se lo spazio di partenza ha dimensione minore di quello di arrivo.
Che io sappia, da che mondo e mondo, per come è definito un diffeomorfismo gli spazi di partenza ed arrivo devono avere la stessa dimensione!
Sono d'accordo con voi, questa scrittura è brutta. L'autore intendeva: sia \(f\) un diffeomorfismo di un aperto \(X\) di \(\mathbb{R}^n\) su una sottovarietà \(Y\) di \(\mathbb{R}^k\). Allora \(n \le k\) ecc...
Mi sembrava appunto, grazie dissonance!
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