Diffeomorfismi e differenziali che sono isomorfismi
Sto avendo qualche difficoltà con questo esercizio.
Intanto qualche definizione giusto per capirci...
Sto cercando di dimostrare che se $f: D rarr E$ è un diffeomorfismo con D ed E completi, allora per ogni $x \in D$ , Df(x) è un isomorfismo e vale
$AA y \in D$, $(D(f^{-1}))(y)=[(Df)(f^{-1}(y))]^{-1}$
Purtroppo non ho alcuna idea su come dimostrare che Df(x) è un isomorfismo.
Riguardo all'uguaglianza, sapendo che Df(x) è un isomorfismo, penso di esserci riuscito.
Sia $x_0 \in D$ con $y_0:= f(x_0) \in E $. Tento di applicare la definizione di differenziale per dimostrare la differenziabilità di $f^{-1}$ in $y_0$.
Usando la differenziabilità di f in $x_0$ cioè
$f(x)=f(x_0) +[Df(x_0)](x-x_0) + \sigma(x,x_0) || x-x_0|| $ dove $lim_{x->x_0} \sigma(x,x_0) = 0$ con $\sigma$ continua ed il fatto che
$x->x_0 hArr y->y_0$ dove $y=f(x)$
ed effettuando vari passaggi (che se volete riporto ma penso siano giusti) ottengo
$lim_{y-> y_0} \frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)-[(Df)(f^{-1}(y_0))]^{-1}(y-y_0)}{||y-y_0||}=$
$=lim_{x-> x_0} \frac {[(Df)(x_0)]^{-1} ( \sigma (x,x_0) ) }{|| [(Df)(x_0)](\frac {x-x_0}{||x-x_0||}) +\sigma (x,x_0) || }$
Fissato $\epsilon > 0$, poiché la norma è uniformemente continua e $lim_{x->x_0} \sigma(x,x_0) = 0$ esiste $ \delta >0 $ tale che
$AA x \in D : ||\sigma (x,x_0)|| < \delta, | ( || [(Df)(x_0)](\frac {x-x_0}{||x-x_0||}) || - || [(Df)(x_0)](\frac {x-x_0}{||x-x_0||}) +\sigma (x,x_0) || ) | < \epsilon $
Poiché $|| [(Df)(x_0)](\frac {x-x_0}{||x-x_0||}) || $ ha massimo e minimo assoluto perché è una funzione continua definita su un compatto, posso dedurre quindi che il denominatore del limite è una funzione di x che ha estremo inferiore maggiore di zero. Quindi il limite esiste e vale zero, la differenziabilità di $f^{-1}$ è provata e l'uguaglianza dovrebbe essere dimostrata.
Pensate che il mio ragionamento sia corretto?
Ora il problema rimane dimostrare che Df(x) è un isomorfismo.
Grazie mille a chiunque potrà darmi una mano.
EDIT: quando sopra dico che la differenziabilità di $f^{-1}$ è provata mi sono espresso un po' male perché che $f^{-1}$ è differenziabile lo so per ipotesi, quello che devo dimostrare è che il differenziale è quello.
EDIT 2: aggiunto un $x_0$ e corretto una $y$ in $y_0$.
Intanto qualche definizione giusto per capirci...
Sto cercando di dimostrare che se $f: D rarr E$ è un diffeomorfismo con D ed E completi, allora per ogni $x \in D$ , Df(x) è un isomorfismo e vale
$AA y \in D$, $(D(f^{-1}))(y)=[(Df)(f^{-1}(y))]^{-1}$
Purtroppo non ho alcuna idea su come dimostrare che Df(x) è un isomorfismo.
Riguardo all'uguaglianza, sapendo che Df(x) è un isomorfismo, penso di esserci riuscito.
Sia $x_0 \in D$ con $y_0:= f(x_0) \in E $. Tento di applicare la definizione di differenziale per dimostrare la differenziabilità di $f^{-1}$ in $y_0$.
Usando la differenziabilità di f in $x_0$ cioè
$f(x)=f(x_0) +[Df(x_0)](x-x_0) + \sigma(x,x_0) || x-x_0|| $ dove $lim_{x->x_0} \sigma(x,x_0) = 0$ con $\sigma$ continua ed il fatto che
$x->x_0 hArr y->y_0$ dove $y=f(x)$
ed effettuando vari passaggi (che se volete riporto ma penso siano giusti) ottengo
$lim_{y-> y_0} \frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)-[(Df)(f^{-1}(y_0))]^{-1}(y-y_0)}{||y-y_0||}=$
$=lim_{x-> x_0} \frac {[(Df)(x_0)]^{-1} ( \sigma (x,x_0) ) }{|| [(Df)(x_0)](\frac {x-x_0}{||x-x_0||}) +\sigma (x,x_0) || }$
Fissato $\epsilon > 0$, poiché la norma è uniformemente continua e $lim_{x->x_0} \sigma(x,x_0) = 0$ esiste $ \delta >0 $ tale che
$AA x \in D : ||\sigma (x,x_0)|| < \delta, | ( || [(Df)(x_0)](\frac {x-x_0}{||x-x_0||}) || - || [(Df)(x_0)](\frac {x-x_0}{||x-x_0||}) +\sigma (x,x_0) || ) | < \epsilon $
Poiché $|| [(Df)(x_0)](\frac {x-x_0}{||x-x_0||}) || $ ha massimo e minimo assoluto perché è una funzione continua definita su un compatto, posso dedurre quindi che il denominatore del limite è una funzione di x che ha estremo inferiore maggiore di zero. Quindi il limite esiste e vale zero, la differenziabilità di $f^{-1}$ è provata e l'uguaglianza dovrebbe essere dimostrata.
Pensate che il mio ragionamento sia corretto?
Ora il problema rimane dimostrare che Df(x) è un isomorfismo.
Grazie mille a chiunque potrà darmi una mano.
EDIT: quando sopra dico che la differenziabilità di $f^{-1}$ è provata mi sono espresso un po' male perché che $f^{-1}$ è differenziabile lo so per ipotesi, quello che devo dimostrare è che il differenziale è quello.
EDIT 2: aggiunto un $x_0$ e corretto una $y$ in $y_0$.
Risposte
Se è un diffeomorfismo, il differenziale è pure invertibile in ogni punto.
"regim":
Se è un diffeomorfismo, il differenziale è pure invertibile in ogni punto.
Ma è questo che devo dimostrare! Come faccio?
Se è un diffeomorfismo so che l'inversa è differenziabile non che il differenziale sia invertibile...
Forse tu usi un'altra definizione...
Che io sappia quella è una definizione, non devi proprio dimostrarla, anche perchè come fai a dire che il differenziale dell'inversa è quello che hai scritto se non parti dal presupposto che è invertibile nel punto?
Penso che adottiamo due definizioni differenti.
Per te un diffeomorfismo è una funzione differenziabile, invertibile con l'inversa continua, con il differenziale che è un isomorfismo. Da qui si può dimostrare come ho fatto sopra io, che l'inversa è differenziabile e che il differenziale è quello.
Io sto partendo dalla definizione che un diffeomorfismo è una funzione biunivoca, differenziabile e con l'inversa differenziabile. Da qui dovrei dimostrare che il differenziale della funzione è invertibile prima di fare la dimostrazione che ho fatto sopra, ovviamente.
Ora, come faccio a dimostrare che questo differenziale è invertibile?
Grazie, comunque.
Per te un diffeomorfismo è una funzione differenziabile, invertibile con l'inversa continua, con il differenziale che è un isomorfismo. Da qui si può dimostrare come ho fatto sopra io, che l'inversa è differenziabile e che il differenziale è quello.
Io sto partendo dalla definizione che un diffeomorfismo è una funzione biunivoca, differenziabile e con l'inversa differenziabile. Da qui dovrei dimostrare che il differenziale della funzione è invertibile prima di fare la dimostrazione che ho fatto sopra, ovviamente.
Ora, come faccio a dimostrare che questo differenziale è invertibile?
Grazie, comunque.
Hai ragione tu! la definizione è quella che hai dato tu, penso quindi se hai che entrambi sono differenziabili, per il teorema delle funzioni composte hai necessariamente che il prodotto dei differenziali(intendo della funzione e dell'inversa della funzione) sia l'operatore identità, quindi il differenziale è invertibile ....
E tu hai più che ragione!
Facendo come hai detto tu non solo dimostro che Df(x) è invertibile ma ne determino anche l'inverso. Poiché questo inverso è a sua volta un differenziale (quello della funzione inversa) relativo ad un certo punto allora questo inverso è continuo per definizione di differenziale e, quindi, posso affermare che Df(x) è un isomorfismo.
Piuttosto, il ragionamento che ho fatto alla fine del limite per dimostrare che il denominatore ha estremo inferiore maggiore di zero ti sembra corretto?
Grazie mille.
Facendo come hai detto tu non solo dimostro che Df(x) è invertibile ma ne determino anche l'inverso. Poiché questo inverso è a sua volta un differenziale (quello della funzione inversa) relativo ad un certo punto allora questo inverso è continuo per definizione di differenziale e, quindi, posso affermare che Df(x) è un isomorfismo.
Piuttosto, il ragionamento che ho fatto alla fine del limite per dimostrare che il denominatore ha estremo inferiore maggiore di zero ti sembra corretto?
Grazie mille.
Devi cominciare col correggere l'espressione di $f(x)$. Poi sotto ci sono dei passaggi, il secondo limite che non mi convince. Ciao alla prox.
Ho corretto due errorini.
Riguardo ai passaggi non ho fatto altro che sostituire l'espressione della f(x) tramite il suo differenziale e sfruttare il cambiamento di variabile y=f(x) e la linearità dell'inversa del differenziale $Df(x_0)$. I miei dubbi riguardano più che altro i passaggi finali dove dimostro che l'estremo inferiore di quel denominatore è maggiore di zero.
Grazie, ciao
Riguardo ai passaggi non ho fatto altro che sostituire l'espressione della f(x) tramite il suo differenziale e sfruttare il cambiamento di variabile y=f(x) e la linearità dell'inversa del differenziale $Df(x_0)$. I miei dubbi riguardano più che altro i passaggi finali dove dimostro che l'estremo inferiore di quel denominatore è maggiore di zero.
Grazie, ciao
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