Devo verificare che per ogni $x \in (0,\pi/2)$ vale.....
Devo verificare che per ogni $x \in (0,\pi/2)$ vale
$2sinx+tanx>3x$
Io ho iniziato facendo la derivata,ma poi mi ritrovo con $2cosx+1/(cos^2 x)>3$ e poi non sò più cosa fare....
Mi potete dare una mano?
[mod="Fioravante Patrone"]Ciao, ho sistemato titolo e prima e terza riga.
Non devi preoccuparti di mettere tutti i "dollari" come hai fatto qui (semmai una coppia di parentesi nella riga 3):
$x $in$(0,$$\pi$/2$)$
$2cosx+$1/$cos^2$x$>3$[/mod]
$2sinx+tanx>3x$
Io ho iniziato facendo la derivata,ma poi mi ritrovo con $2cosx+1/(cos^2 x)>3$ e poi non sò più cosa fare....
Mi potete dare una mano?
[mod="Fioravante Patrone"]Ciao, ho sistemato titolo e prima e terza riga.
Non devi preoccuparti di mettere tutti i "dollari" come hai fatto qui (semmai una coppia di parentesi nella riga 3):
$x $in$(0,$$\pi$/2$)$
$2cosx+$1/$cos^2$x$>3$[/mod]
Risposte
Io scriverei il seno ed la tangente utilizzando le serie di Taylor.
Io scriverei il seno ed la tangente utilizzando le serie di Taylor.
Sono arrivato fino ad ad $o($x^5$)$ con gli sviluppi,ed il risultato mi viene $3/20$>0$
,potete dirmi se è corretto?
sappiamo che $lim_(x->\pi/2-)2sin(x)+tan(x)-3x=+\infty$
e che $lim_(x->0+)2sin(x)+tan(x)-3x=0$, utilizzando i limiti notevoli $lim_(h->0)sin(x)/x=1$ , $lim_(h->0)tan(x)/x=1$
studio il segno della derivata, che a me viene $(2cos(x)^3-3cos(x)^2+1)/(cos(x)^2)$
pongo $t=cos(x)$, quindi
$(2t^3-3t^2+1)/=0$ (ricordando che a noi interessano i valori di t corrispondenti al codominio di cos(x), [-1, 1])
si azzera per t=1, quindi per Ruffini:
$(2t^3-3t^2+1)=(t-1)(2t^2-t-1)$
$(2t^2-t-1)$ è un'equazione di secondo grado, che si azzera per t=1 e t=-1/2
quindi la derivata si azzera in cos(x)=-/2 e cos(x)=1, ma nessun x appartenente all'intervallo (0, pi/2) le soddisfa. Ne consegue che la derivata non cambia mai di segno. dato che la funzione originaria va da 0 a +inf, la derivata deve essere positiva.
Quindi la funzione è monotona crescente nell'intervallo (0, pi/2).
Scusate ma ho dovuto fare in frettissima. Ciao
e che $lim_(x->0+)2sin(x)+tan(x)-3x=0$, utilizzando i limiti notevoli $lim_(h->0)sin(x)/x=1$ , $lim_(h->0)tan(x)/x=1$
studio il segno della derivata, che a me viene $(2cos(x)^3-3cos(x)^2+1)/(cos(x)^2)$
pongo $t=cos(x)$, quindi
$(2t^3-3t^2+1)/=0$ (ricordando che a noi interessano i valori di t corrispondenti al codominio di cos(x), [-1, 1])
si azzera per t=1, quindi per Ruffini:
$(2t^3-3t^2+1)=(t-1)(2t^2-t-1)$
$(2t^2-t-1)$ è un'equazione di secondo grado, che si azzera per t=1 e t=-1/2
quindi la derivata si azzera in cos(x)=-/2 e cos(x)=1, ma nessun x appartenente all'intervallo (0, pi/2) le soddisfa. Ne consegue che la derivata non cambia mai di segno. dato che la funzione originaria va da 0 a +inf, la derivata deve essere positiva.
Quindi la funzione è monotona crescente nell'intervallo (0, pi/2).
Scusate ma ho dovuto fare in frettissima. Ciao
Grazie Zeromemory 
Ma Ruffini và utilizzato sempre,o posso trovare un'altro metodo un pò più veloce?
Ma Ruffini và utilizzato sempre,o posso trovare un'altro metodo un pò più veloce?
Sicuro di avere capito?? L'ho scritto veramente male...magari enuncia i teoremi su cui sono basati i ragionamenti.
Che ne sappia io ci sono formule generali per trovare le radici di equazioni di terzo e quarto grado, ma a scuola non ce le hanno mai dette...ci fanno usare il metodo di Ruffini.
Magari qualcuno che ne sa di piu potrà risponderti meglio
ciao
Che ne sappia io ci sono formule generali per trovare le radici di equazioni di terzo e quarto grado, ma a scuola non ce le hanno mai dette...ci fanno usare il metodo di Ruffini.
Magari qualcuno che ne sa di piu potrà risponderti meglio
ciao
"One":
Ma Ruffini va utilizzato sempre,o posso trovare un'altro metodo un pò più veloce?
Se cerchi gli zeri di un polinomio di grado superiore al secondo e almeno uno di questi è razionale allora Ruffini è il metodo più veloce, a meno che non si tratti di un caso particolare in cui il polinomio si scompone agevolmente con i raccoglimenti.
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