Devo risolvere un integrale..........

Gabriella***110
ciao ragazzi dovrei risolvere questo integrale:
$int_dx/(1+e^2x)$

Risposte
Nidhogg
"Gabriella***":
ciao ragazzi dovrei risolvere questo integrale:
$int_dx/(1+e^2x)$


Questo integrale: $int dx/(1+e^2x)$.

Benvenuta nel nostro Forum!

carlo232
"Gabriella***":
ciao ragazzi dovrei risolvere questo integrale:
$int_dx/(1+e^2x)$


Credo tu intenda $int (dx)/(1+xe^2)$, o no?

Hai $(d)/(dx) ln(1+e^2x)=(e^2)/(1+e^2x)$ quindi

$int_dx/(1+e^2x)=e^-2 ln(1+e^2x)$

Ciao! :D

fireball1
Se capisco bene il testo...
$int dx/(1+e^(2x))$
Ponendo $e^(2x)=y => 2x=ln(y) =>x=1/2 ln(y)=>dx=(dy)/(2y)$ si ha:
$int (dy)/(2y(1+y))=...$

Gabriella***110
sisi ragazzi scusate ho sbagliato a scrivere
$int dx/(1+e^(2x))$

fireball1
Beh, ti ho risposto... Vedi se ora riesci ad andare avanti, è facile...

Gabriella***110
questa è la soluzione del libro: io purtoppo non ci riesco
$log((e^x)/(sqrt(1+e^(2x))))+c

fireball1
Ovvio... Alla fine, quando hai ottenuto una
primitiva $F(y)+C$, devi risostituire $e^(2x)$ al posto di $y$...

cavallipurosangue
Forse ti aiuterà sapere che $1/{2y(1+y)}=y/2-1/{2(1+y)}$

Gabriella***110
si ho capito come ci sei arrivato, però non riesco a risolvere questo integrale
$int (dy)/(2y(1+y))=...$
scusa ma non ho mai fatto prima d'ora integrali se non adesso all'univ.

cavallipurosangue
Siccome vedo che nessuno risponde lo faccio io.
Fino a dove ti ha detto Francesco hai detto di esser arrivata, bene partiamo da lì.
Per scrivere quell'integranda sotto forma di una somma di due frazioni con denominatore ad un solo termine devi fare così:
$A/{2y}+B/{1+y}={A(1+y)+B(2y)}/{2y(1+y)}={y(A+2B)+A}/{2y(1+y)}$ che deve esser uguale a : $1/{2y(1+y)}$ quindi imponiamo il sistema:
${(A=1),(A+2B=0):}=>{(A=1),(B=-1/2):}$

Quindi puoi riscrivere l'integrale come somma di due integrali:

$int (dy)/(2y(1+y))=1/2(\int1/ydy-\int1/(1+y)dy)=1/2(logy-log(1+y))+c=1/2log(y/(1+y))+c=log\sqrt{y/(1+y)}+c$

A questo punto sostituendo hai:

$log\sqrt{e^{2x}/(1+e^{2x})}+c=log(e^x/(\sqrt{1+e^{2x}}))+c

fireball1
Io per "sicurezza" metterei in modulo gli
argomenti dei logaritmi... Attenzione a scrivere
$log(y)-log(1+y)=log(y/(1+y))$ perché non è
sempre vero, infatti le funzioni $f(y):=log(y)-log(1+y)$
e $g(y):=log(y/(1+y))$ hanno diverso dominio...
$f(y)=g(y)$ solo per $y>0$.

cavallipurosangue
Si hai ragione, il fatto è che quando abbiamo fatto la sostituzione $y=e^{2x}$ abbiamo implicitamente decretato che $y>0$ e che a maggior ragione $ 1+y>0$
In generale ovviamente hai ragione tu.

fireball1
Giusto, è vero, avevamo posto $y=e^(2x)$...
Me l'ero dimenticato! :-D Va beh, non fa mai
male una piccola puntualizzazione... :)

cavallipurosangue
:-D :-D :smt023

Gabriella***110
grazie ragazzi! la mia prof non mi ha proprio spiegato qst metodo (anche se ha detto che l'argomento è stato concluso)... grazie ancora e buona serata.....

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