Devo risolvere un integrale..........

[Gabriella***110]

ciao ragazzi dovrei risolvere questo integrale:
$int_dx/(1+e^2x)$

[Nidhogg]

"Gabriella***":ciao ragazzi dovrei risolvere questo integrale:
$int_dx/(1+e^2x)$

Questo integrale: $int dx/(1+e^2x)$.

Benvenuta nel nostro Forum!

[carlo232]

"Gabriella***":ciao ragazzi dovrei risolvere questo integrale:
$int_dx/(1+e^2x)$

Credo tu intenda $int (dx)/(1+xe^2)$, o no?

Hai $(d)/(dx) ln(1+e^2x)=(e^2)/(1+e^2x)$ quindi

$int_dx/(1+e^2x)=e^-2 ln(1+e^2x)$

Ciao!

[fireball1]

Se capisco bene il testo...
$int dx/(1+e^(2x))$
Ponendo $e^(2x)=y => 2x=ln(y) =>x=1/2 ln(y)=>dx=(dy)/(2y)$ si ha:
$int (dy)/(2y(1+y))=...$

[Gabriella***110]

sisi ragazzi scusate ho sbagliato a scrivere
$int dx/(1+e^(2x))$

[fireball1]

Beh, ti ho risposto... Vedi se ora riesci ad andare avanti, è facile...

[Gabriella***110]

questa è la soluzione del libro: io purtoppo non ci riesco
$log((e^x)/(sqrt(1+e^(2x))))+c

[fireball1]

Ovvio... Alla fine, quando hai ottenuto una
primitiva $F(y)+C$, devi risostituire $e^(2x)$ al posto di $y$...

[cavallipurosangue]

Forse ti aiuterà sapere che $1/{2y(1+y)}=y/2-1/{2(1+y)}$

[Gabriella***110]

si ho capito come ci sei arrivato, però non riesco a risolvere questo integrale
$int (dy)/(2y(1+y))=...$
scusa ma non ho mai fatto prima d'ora integrali se non adesso all'univ.

[cavallipurosangue]

Siccome vedo che nessuno risponde lo faccio io.
Fino a dove ti ha detto Francesco hai detto di esser arrivata, bene partiamo da lì.
Per scrivere quell'integranda sotto forma di una somma di due frazioni con denominatore ad un solo termine devi fare così:
$A/{2y}+B/{1+y}={A(1+y)+B(2y)}/{2y(1+y)}={y(A+2B)+A}/{2y(1+y)}$ che deve esser uguale a : $1/{2y(1+y)}$ quindi imponiamo il sistema:
${(A=1),(A+2B=0):}=>{(A=1),(B=-1/2):}$

Quindi puoi riscrivere l'integrale come somma di due integrali:

$int (dy)/(2y(1+y))=1/2(\int1/ydy-\int1/(1+y)dy)=1/2(logy-log(1+y))+c=1/2log(y/(1+y))+c=log\sqrt{y/(1+y)}+c$

A questo punto sostituendo hai:

$log\sqrt{e^{2x}/(1+e^{2x})}+c=log(e^x/(\sqrt{1+e^{2x}}))+c

[fireball1]

Io per "sicurezza" metterei in modulo gli
argomenti dei logaritmi... Attenzione a scrivere
$log(y)-log(1+y)=log(y/(1+y))$ perché non è
sempre vero, infatti le funzioni $f(y):=log(y)-log(1+y)$
e $g(y):=log(y/(1+y))$ hanno diverso dominio...
$f(y)=g(y)$ solo per $y>0$.

[cavallipurosangue]

Si hai ragione, il fatto è che quando abbiamo fatto la sostituzione $y=e^{2x}$ abbiamo implicitamente decretato che $y>0$ e che a maggior ragione $ 1+y>0$
In generale ovviamente hai ragione tu.

[fireball1]

Giusto, è vero, avevamo posto $y=e^(2x)$...
Me l'ero dimenticato! Va beh, non fa mai
male una piccola puntualizzazione...

[cavallipurosangue]

[Gabriella***110]

grazie ragazzi! la mia prof non mi ha proprio spiegato qst metodo (anche se ha detto che l'argomento è stato concluso)... grazie ancora e buona serata.....