Dettagli su una tecnica di analisi complessa.

[lorandrum]

Ciao a tutti.
Ho la funzione $\psi(\lambda)=\frac{e}{\pi\lambda}Im(e^{-\omega(\lambda-1)^{\frac{1}{4}}})$ definita sull'intervallo $[1,\infty]$ e vorrei calcolarne l'integrale (dovrebbe essere 1).
Mi è suggerito di considerare la funzione complessa $e^{-\omega(z-1)^{\frac{1}{4}}}$ (scegliendo la determinazione del logaritmo sul piano complesso "tagliando" l'intervallo reale $[1,\infty]$). Integrando sulla curva che va da $\infty$ a 1 appena sopra il taglio effettuato, che fa un mezzo giro intorno a 1 e torna a $\infty$ sotto il taglio, ho chiaramente che
$-\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\frac{1}{z}e^{-\omega(z-1)^{\frac{1}{4}}}dz=e^{-1}$

Ora immagino che si debba passare al limite (rendendo $\gamma$ sempre più aderente a $[1,\infty]$) tuttavia ho un po' di difficoltà con i calcoli e non mi è chiaro come procedere oltre.

[lorandrum]

Ah, mi son dimenticato di specificare $\omega=e^{-i\frac{\pi}{4}}$

[ciampax]

C'è una cosa che mi chiedo: l'integrale che hai calcolato vale $e^{-1}$, cioè un valore costante, indipendente dalla scelta della curva, giusto? E allora ti chiedo una cosa: quanto fa [tex]$\lim{x\to x_0} c$[/tex] se $c$ è una costante?

[lorandrum]

È evidente che non è un problema trovare il limite della parte destra dell'uguaglianza di sopra.
Quello che non riesco a fare è trovare il limite del membro di sinistra in modo da far saltare fuori l'integrale di $\psi$.