Determinazione punti stazionari
Buongiorno a tutti. In sti giorni mi sto propinguando sempre nella determinazione di punti stazionari di funzioni. In questa prima funzione $f(x,y)=2ylog(2-x^2)+y^2$, in cui il dominio è ${(x,y)inRR^2 : x>+-sqrt2}$ e il gradiente è $(-((4xy)/(2-x^2)) ; 2log(2-x^2)+2y)$. Il fatto è che non riesco a coniugare la limitazione che da il dominio della funzione con la risoluzione del sistema per trovare i punti stazionari. Svolgendo il sistema, dalla seconda equazione $2log(2-x^2)+2y$ posso ricavarmi $y=-log(2-x^2)$ ma se vado poi a sostituirlo nella seconda, mi viene fuori una equazione ancora più complicata. Che accorgimento posso adottare per risolvere il sistema?
In un esercizio consegutivo, mi ritrovo ad avere $f(x,y)=ylogx$, con dominio ${(x,y)inRR^2 : x>0}$ con gradiente $(y/x ; logx)$. La situazione è la stessa di prima, non so come comportarmi in base al dominio.
Non sto ad aprire un altro topic per questo. In un esercizio precedente a questo, mi sono ritrovato ad avere $(1-y/6-x/5+(xy)/30)$ e il risultato mi veniva dato $(1-x/5)(1-y/6)$, non riesco a capire con che tipo di scomposizione e stata fatta.....
In un esercizio consegutivo, mi ritrovo ad avere $f(x,y)=ylogx$, con dominio ${(x,y)inRR^2 : x>0}$ con gradiente $(y/x ; logx)$. La situazione è la stessa di prima, non so come comportarmi in base al dominio.
Non sto ad aprire un altro topic per questo. In un esercizio precedente a questo, mi sono ritrovato ad avere $(1-y/6-x/5+(xy)/30)$ e il risultato mi veniva dato $(1-x/5)(1-y/6)$, non riesco a capire con che tipo di scomposizione e stata fatta.....
Risposte
Allora, il dominio della prima funzione risulta essere $ D={x,y) in RR^2 | x in (-\sqrt(2), \sqrt(2)) } $. Ora le derivate prime sono giuste e il sistema che avrai avuto è sicuramente questo sistema
$ { (-(4yx)/(2-x^2)=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $, cioè $ { (yx=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $. Ora la prima equazione del sistema si annulla o per valori nulli di $x$ o per valori nulli di $y$. Segue che hai due sotto-sistemi
$ { (x=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $ e $ { (y=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $ e ora il gioco è fatto
. Le soluzioni fanno parte del dominio $D$!
Riguardo al secondo esercizio hai il sistema
$ {(y/x=0), (log(x)=0) :} $, ma la seconda equazione equivale dire $ x=1 $ (applichi le proprietà dei logaritmi no?!). Quindi il sistema diventa
$ {(y/x=0), (x=1) :} $ sostituisci e il gioco è fatto!
$ { (-(4yx)/(2-x^2)=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $, cioè $ { (yx=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $. Ora la prima equazione del sistema si annulla o per valori nulli di $x$ o per valori nulli di $y$. Segue che hai due sotto-sistemi
$ { (x=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $ e $ { (y=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $ e ora il gioco è fatto
. Le soluzioni fanno parte del dominio $D$!Riguardo al secondo esercizio hai il sistema
$ {(y/x=0), (log(x)=0) :} $, ma la seconda equazione equivale dire $ x=1 $ (applichi le proprietà dei logaritmi no?!). Quindi il sistema diventa
$ {(y/x=0), (x=1) :} $ sostituisci e il gioco è fatto
!
Per il primo esercizio
Ok, ci sono per quanto riguarda $\{(x=0),(log(2-x^2)+y=0):}$, sostituisco la $x$ nella seconda e viene $y=-log(2)$ (giusto?), mentre però alla seconda come faccio a ricavarmi la $x$ se è come argomento del logaritmo?
Per il secondo esercizio
E' vero, non ciò pensato che c'era da usare la proprietà del logaritmo. In definitiva, il punto stazionario sarà $(1,0)$.
Ok, ci sono per quanto riguarda $\{(x=0),(log(2-x^2)+y=0):}$, sostituisco la $x$ nella seconda e viene $y=-log(2)$ (giusto?), mentre però alla seconda come faccio a ricavarmi la $x$ se è come argomento del logaritmo?
Per il secondo esercizio
E' vero, non ciò pensato che c'era da usare la proprietà del logaritmo. In definitiva, il punto stazionario sarà $(1,0)$.
applica sempre le proprietà dei logaritmi ... no?!
(Non ci sto più capendo niente)
ok, però in base al dominio, la funzione è definita tra $(-sqrt2,sqrt2)$ e quindi alla mia seconda funzione $log(2-x^2)+y=0$ sostituisco il vaore di $y=0$ e avrò $log(2-x^2)=0$ ed è qui che devo sostituire? ma cosa?
ok, però in base al dominio, la funzione è definita tra $(-sqrt2,sqrt2)$ e quindi alla mia seconda funzione $log(2-x^2)+y=0$ sostituisco il vaore di $y=0$ e avrò $log(2-x^2)=0$ ed è qui che devo sostituire? ma cosa?
Allora tu hai il sistema $ { (y=0), (log(2-x^2)+y=0) :} $, cioè $ { (y=0), (log(2-x^2)=0) :} $. Se applici alla seconda equazione le proprietà dei logaritmi, hai $ 2-x^2=1 $, cioè $ x^2=1 $, da cui hai che le soluzioni di questo sistema sono $ (1,0), (-1,0) $; soluzioni, queste, accettabili perchè fanno parte del dominio $D$ ok?
(scusami ma sono stato privato di internet)
Ah ok, quando ho il logaritmo, pongo il suo argomento uguale a 1, e vedo per quali valori lo si annulla. Grazie. Quindi a sto punto, avrò i punti $(0,-log2) , (1,0) , (-1,0)$ e da qui vedo poi che natura hanno questi punti.
Grazie, il fatto del logaritmo mi sfuggiva...
Ah ok, quando ho il logaritmo, pongo il suo argomento uguale a 1, e vedo per quali valori lo si annulla. Grazie. Quindi a sto punto, avrò i punti $(0,-log2) , (1,0) , (-1,0)$ e da qui vedo poi che natura hanno questi punti.
Grazie, il fatto del logaritmo mi sfuggiva...
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