Determinazione principale.
qualcuno potrebbe aiutarmi a capire cosa sia la determinazione e l'argomento principale di una radice n-sima nel campo complesso.... magari con qualche esempio. grazie in anticipo per le risposte 
Risposte
Se hai l'equazione $z^n = w$ con $n$ naturale, $w$ numero complesso noto e $z$ incognita, per trovare le $n$ soluzioni basta che applichi il seguente procedimento:
1. Trovare la norma di $w$ e farne la radice n-esima, che indicheremo con $\rho =|w|^{1/n}$
2. Trovare l'argomento di $w$:
- se hai $w$ nella forma $x+iy$ l'argomento lo trovi così $\theta = arctan( y/x )$ (per controllare di aver preso l'angolo giusto basta che guardi i segni di x, y... magari ci devi aggiungere o togliere un $pi$, essendo la tange periodica di periodo $pi$)
- se hai $w$ nella forma $|w| e^{i \theta}$ l'argomento l'hai, è $\theta$
- se hai $w$ nella forma $|w| ( cos(\theta) +i sen(\theta))$ idem, è $theta$
3. Le $n$ soluzioni sono della forma $z_k = \rho ( cos( (\theta + 2 \pi k)/n ) + i sen((\theta + 2 \pi k)/n))$ e si ottengono facendo assumere a $k$ i valori $0, 1, ..., n-1$
Es.
$z^4 = 1 + i$
$w=1+i$, $n=4$
1. $|w| = \sqrt( 1+1) = \sqrt(2) \rightarrow \rho= (\sqrt(2))^(1/4)$
2. $\theta = arctan(1) = \pi /4 $ (ha senso perchè $1+i$ sta nel primo quadrante infatti)
3. $z_0 = (\sqrt(2))^(1/4) ( cos(\pi/16 ) +i sen( \pi /16))$
$z_1 = ...$
Spero di essere stata chiara. Se hai bisogno posta
Paola
1. Trovare la norma di $w$ e farne la radice n-esima, che indicheremo con $\rho =|w|^{1/n}$
2. Trovare l'argomento di $w$:
- se hai $w$ nella forma $x+iy$ l'argomento lo trovi così $\theta = arctan( y/x )$ (per controllare di aver preso l'angolo giusto basta che guardi i segni di x, y... magari ci devi aggiungere o togliere un $pi$, essendo la tange periodica di periodo $pi$)
- se hai $w$ nella forma $|w| e^{i \theta}$ l'argomento l'hai, è $\theta$
- se hai $w$ nella forma $|w| ( cos(\theta) +i sen(\theta))$ idem, è $theta$
3. Le $n$ soluzioni sono della forma $z_k = \rho ( cos( (\theta + 2 \pi k)/n ) + i sen((\theta + 2 \pi k)/n))$ e si ottengono facendo assumere a $k$ i valori $0, 1, ..., n-1$
Es.
$z^4 = 1 + i$
$w=1+i$, $n=4$
1. $|w| = \sqrt( 1+1) = \sqrt(2) \rightarrow \rho= (\sqrt(2))^(1/4)$
2. $\theta = arctan(1) = \pi /4 $ (ha senso perchè $1+i$ sta nel primo quadrante infatti)
3. $z_0 = (\sqrt(2))^(1/4) ( cos(\pi/16 ) +i sen( \pi /16))$
$z_1 = ...$
Spero di essere stata chiara. Se hai bisogno posta
Paola
ti ringrazio per l'ottima spiegazione.. il mio problema però è capire come stabilire qual'è la determinazione principale... ora ti spiego.. se abbiamo una radice quarta troviamo 4 soluzioni.. (il mio prof per argomento principale intende quello compreso tra -preco e pgreco). Come posso capire quale sia la mia soluzione cercata? Se uso la formula di De Moivre posso si trovare soluzioni che escono dall'intervallo ma ne posso trovare anche di varie che stanno nell'intervallo. aiutatemi 
aiutatemi
WHAT??? Mi stai dicendo che ho scritto per mezz'ora inutilmente??
Comunque se esci da quell'intervallo basta che all'angolo aggiungi o togli dei $2 \pi$ per trovar questa determinazione principale.
Esempio: trovi $11/6 \pi $... Levagli $2 \pi : - \pi/6 \in (-\pi,\pi]$.
Paola
Comunque se esci da quell'intervallo basta che all'angolo aggiungi o togli dei $2 \pi$ per trovar questa determinazione principale.
Esempio: trovi $11/6 \pi $... Levagli $2 \pi : - \pi/6 \in (-\pi,\pi]$.
Paola
non chiamarmi rompiscatole..... ma devo determinare un'unica soluzione .... quale devo scegliere secondo la determinazione principale........... ! io sto uscendo pazzo
Scusa, ma tra $-\pi $ e $\pi$ le soluzioni sono $n$, perchè l'intervallo ha lunghezza $2\pi$ ! Forse sbagli tu l'intervallo...
Paola
Paola
non so che dire.. devo chiedere al prof può darsi che riesca a comprendere
"nellino":
qualcuno potrebbe aiutarmi a capire cosa sia la determinazione e l'argomento principale di una radice n-sima nel campo complesso.... magari con qualche esempio. grazie in anticipo per le risposte
E' molto semplice,l'argomento principale è quello compreso tra $]-π,π]$,solo che come argomento principale non devi prendere quello della radice,ma quello del numero complesso $z$!
Mi spiego meglio con un esempio:
Determinare la determinazione principale di $sqrt(1-i)$:
Lo scirvo in forma esponenziale,il modulo vale $sqrt2$,mentre l'argomento è $arctg -1=-π/4$,dove tale argomento è l'argomento principale in quanto compreso tra $]-π,π]$,dunque la determinazione principale è:
$2^(1/4)e^(-jπ/8)$
ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo