Determinazione migliore costante per la monotonia
Ieri sera ho svolto questo esercizio..ero convinto di averlo fatto bene ma poi ho controllato con wolframalpha e mi sono accorto che qualcosa non quadra..
Data $f(x)=e^(-x)+klnx$ Determinare la più piccola $k$ affinchè $f(x)$ sia crescente nell'intervallo $(0,+oo)$
Dunque la prima cosa che faccio è derivare $f(x)$
$f'(x)=-e^(-x)+k/x$ Poi pongo la derivata maggiore o uguale di $0$
$-e^(-x)+k/x>0$a
Non mi resta che ricavare la più piccola costante per cui questa uguaglianza è vera, per fare ciò risolvo rispetto a $k$
$e^(-x)x0$ per cui essendo sempre positivo l'ho tolto per risparmiare calcoli...
Ora ottenuta questa disuguaglianza prendo una nuova funzione che chiamo $h(x)=e^(-x)x$ Ne trovo il massimo derivandola
$h'(x)=-e^(-x)x+e^(-x)=(e^(-x))(1-x)>0$
$h'(x)$ è maggiore di 0 solo se $x<1$ segue che la funzione $h(x)$ ha un massimo in $x=1$, dunque la disuguaglianza precedente è vera solo se
$k>1$ In particolare se $k=1$ la disuguaglianza continua a valere e la funzione $f(x)$ è crescente
Quindi la più piccola costante per cui $f(x)$ è crescente è $k=1$
Ora controllando su wolframalpha sembra che la funzione cresca anche se $k=1/2$.. se $k=1/3$ invece cresce e decresce...
Ora io mi chiedo ma come faccio ad ottenere $1/2$?!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3De^(-x)%2B(1%2F2)lnx
Data $f(x)=e^(-x)+klnx$ Determinare la più piccola $k$ affinchè $f(x)$ sia crescente nell'intervallo $(0,+oo)$
Dunque la prima cosa che faccio è derivare $f(x)$
$f'(x)=-e^(-x)+k/x$ Poi pongo la derivata maggiore o uguale di $0$
$-e^(-x)+k/x>0$a
Non mi resta che ricavare la più piccola costante per cui questa uguaglianza è vera, per fare ciò risolvo rispetto a $k$
$e^(-x)x
Ora ottenuta questa disuguaglianza prendo una nuova funzione che chiamo $h(x)=e^(-x)x$ Ne trovo il massimo derivandola
$h'(x)=-e^(-x)x+e^(-x)=(e^(-x))(1-x)>0$
$h'(x)$ è maggiore di 0 solo se $x<1$ segue che la funzione $h(x)$ ha un massimo in $x=1$, dunque la disuguaglianza precedente è vera solo se
$k>1$ In particolare se $k=1$ la disuguaglianza continua a valere e la funzione $f(x)$ è crescente
Quindi la più piccola costante per cui $f(x)$ è crescente è $k=1$
Ora controllando su wolframalpha sembra che la funzione cresca anche se $k=1/2$.. se $k=1/3$ invece cresce e decresce...
Ora io mi chiedo ma come faccio ad ottenere $1/2$?!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3De^(-x)%2B(1%2F2)lnx
Risposte
Forse potrebbe essere che decresce ma non sono in grado di vederlo dal grafico..tuttavia se metto 1/2 come costante la derivata prima risulta comunque essere positiva in $(0,+oo)$
Avete qualche suggerimento per risolvere la situazione?
Avete qualche suggerimento per risolvere la situazione?
La derivata di \(f\) è \(\geq 0\) in \(]0,\infty[\) se e solo se \(k\) è scelto in modo che:
\[
\tag{1}
\forall x>0,\quad k\geq x\ e^{-x}\; ;
\]
la funzione \(\phi (x):=x\ e^{-x}\) è dotata di massimo assoluto in \(]0,\infty[\) e tale massimo è \(1/e\); dunque la disuguaglianza (1) è soddisfatta certamente per ogni \(x>0\) non appena prendi \(k\geq 1/e\).
Conseguentemente, il più piccolo valore di \(k\) è \(1/e\).
\[
\tag{1}
\forall x>0,\quad k\geq x\ e^{-x}\; ;
\]
la funzione \(\phi (x):=x\ e^{-x}\) è dotata di massimo assoluto in \(]0,\infty[\) e tale massimo è \(1/e\); dunque la disuguaglianza (1) è soddisfatta certamente per ogni \(x>0\) non appena prendi \(k\geq 1/e\).
Conseguentemente, il più piccolo valore di \(k\) è \(1/e\).
ora ho capito che cosa avevo saltato! Certamente la funzione ammette massimo quando $x=1$ solo che a me interessa l'immagine non l'ascissa del massimo!
Dunque quando faccio $h(1)=1/e$ che è il valore massimo che la funzione può assumere..
Grazie mille gugo, all'ultimo invece di prendere l'immagine del massimo prendevo l'ascissa..
Dunque quando faccio $h(1)=1/e$ che è il valore massimo che la funzione può assumere..
Grazie mille gugo, all'ultimo invece di prendere l'immagine del massimo prendevo l'ascissa..
Colgo l'occasione per far nascere curiosità a Login,e chiunque abbia letto questo post,in merito alla funzione di Lambert:
saluti dal web.
saluti dal web.
Wow!
Grazie anche a te Theras!
Non credevo che quella funzione fosse così importante!
Appena ho un po' di tempo libero mi leggo tutto quel pdf
Grazie anche a te Theras!
Non credevo che quella funzione fosse così importante!
Appena ho un po' di tempo libero mi leggo tutto quel pdf
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo