Determinazione intervalli di monotonia di una funzione
Salve ragazzi!
Vorrei proporvi un mio dubbio a proposito di un esercizio che sto affrontando questo pomeriggio:
Data la funzione
$(x-1)log(x^2)$
Dovrei determinarne gli intervalli di monotonia, quindi, distinguere gli eventuali intervalli in cui la funzione in questione ammette minimi e/o massimi e quindi cresce/decresce nei medesimi ( se ho inteso bene la frase " determinare gli intervalli di monotonia " della richiesta )
Per prima cosa ho fatto alcune considerazioni sulla funzione:
Essa ha come dominio $ RR -{0}$
Ed è positiva per $ x > -1 $
Per gli intervalli di monotonia è necessario, ovviamente, studiare il segno della derivata prima, ovvero:
$ 2logx-2/x+2 >= 0 $
Tale situazione mi appare ben problematica, in quanto non ho ben chiaro quale strategia risolutiva applicare per studiare una simile disequazione, ovviamente non risolubile in via tradizionale .
Come dovrei procedere ?
Ringrazio.
Edit: in realtà mi sono accorto che $ 1 $ , ad esempio, azzera la derivata. Questo perché "ad occhio" si vede... ma se non fosse stato così banale come avrei dovuto procedere?
Inoltre, una seconda cosa, un dubbio abbastanza inquietante che è emerso da un secondo esercizio (praticamente identico al primo proposto a meno di un segno "-" )
Determinarne gli intervalli di monotonia di
$(x+1)log(x^2)$
Anche qui dominio $ RR -{0}$
E funzione positiva per $ x > 1 $
Veniamo al dunque con la derivata :
$ 2logx+2/x+2 >= 0 $
Il dubbio, la cosa che un pò mi spaventa come la forma possa cambiare il risultato ( a meno che non ci sia una mia grossa svista ) è la seguente:
Se scrivo la derivata come $ log(x^2)+2/x+2 $ , posso facilmente osservare che $ -1 $ , in quanto andando a sostituire $ -1 $ in $ ln(x^2) $ ottengo 0. Sostituendo $ -1 $ in $ 2/x $ ottengo $ -2 $ che sommato al restante $ 2 $ , azzera la derivata.
Se invece la derivata la lascio in forma $ 2logx+2/x+2 $ , non posso sostituire $ -1 $ in $ 2logx $ , perché l'argomento del logaritmo deve necessariamente essere maggiore di zero.
Non è strano?!?!
Vorrei proporvi un mio dubbio a proposito di un esercizio che sto affrontando questo pomeriggio:
Data la funzione
$(x-1)log(x^2)$
Dovrei determinarne gli intervalli di monotonia, quindi, distinguere gli eventuali intervalli in cui la funzione in questione ammette minimi e/o massimi e quindi cresce/decresce nei medesimi ( se ho inteso bene la frase " determinare gli intervalli di monotonia " della richiesta )
Per prima cosa ho fatto alcune considerazioni sulla funzione:
Essa ha come dominio $ RR -{0}$
Ed è positiva per $ x > -1 $
Per gli intervalli di monotonia è necessario, ovviamente, studiare il segno della derivata prima, ovvero:
$ 2logx-2/x+2 >= 0 $
Tale situazione mi appare ben problematica, in quanto non ho ben chiaro quale strategia risolutiva applicare per studiare una simile disequazione, ovviamente non risolubile in via tradizionale .
Come dovrei procedere ?
Ringrazio.
Edit: in realtà mi sono accorto che $ 1 $ , ad esempio, azzera la derivata. Questo perché "ad occhio" si vede... ma se non fosse stato così banale come avrei dovuto procedere?
Inoltre, una seconda cosa, un dubbio abbastanza inquietante che è emerso da un secondo esercizio (praticamente identico al primo proposto a meno di un segno "-" )
Determinarne gli intervalli di monotonia di
$(x+1)log(x^2)$
Anche qui dominio $ RR -{0}$
E funzione positiva per $ x > 1 $
Veniamo al dunque con la derivata :
$ 2logx+2/x+2 >= 0 $
Il dubbio, la cosa che un pò mi spaventa come la forma possa cambiare il risultato ( a meno che non ci sia una mia grossa svista ) è la seguente:
Se scrivo la derivata come $ log(x^2)+2/x+2 $ , posso facilmente osservare che $ -1 $ , in quanto andando a sostituire $ -1 $ in $ ln(x^2) $ ottengo 0. Sostituendo $ -1 $ in $ 2/x $ ottengo $ -2 $ che sommato al restante $ 2 $ , azzera la derivata.
Se invece la derivata la lascio in forma $ 2logx+2/x+2 $ , non posso sostituire $ -1 $ in $ 2logx $ , perché l'argomento del logaritmo deve necessariamente essere maggiore di zero.
Non è strano?!?!
Risposte
Vediamo se riesco a darti una dritta...
Lo studio del segno della derivata è giusto in linea di principio, però come hai detto non è così semplice!
Edit: Avevo scritto una stupidaggine, menomale che nessuno l'ha letta, a quanto sembra
L'idea è buona, aiutati col metodo grafico
Lo studio del segno della derivata è giusto in linea di principio, però come hai detto non è così semplice!
Edit: Avevo scritto una stupidaggine, menomale che nessuno l'ha letta, a quanto sembra
L'idea è buona, aiutati col metodo grafico
Grazie per la risposta.
Purtroppo vorrei evitare il metodo grafico, cosa che, a detta del mio prof di analisi, è una pratica generalmente diffusa ma quasi mai corretta, in quanto un grafico mooolto qualitativo, quale può essere uno realizzato da un essere umano ( pur su carta millimetrata volendo ) , non è affidabile per questo genere di cose, meno che mai nel mio caso, in quanto per determinare gli intervalli di monotonia devo per certo conoscere con precisione quali siano i punti di minimo e di massimo ( ovvero le coordinate ottenibili tradizionalmente, quando però la derivata è studiabile , studiando il segno di quest'ultima ).
Stamattina, mentre tornavo dall'università, ho pensato a qualcosa che potrebbe parzialmente aiutarmi nella risoluzione:
Lasciando un attimo da parte la derivata prima e calcolando la derivata seconda, ho pensato che, nel caso in cui risolvendo la disequazione associata alla derivata seconda si ottengano 2 punti di flesso, osservandone la posizione reciproca sarebbe possibile risalire alla monotonia in quell'intervallo . Tuttavia questo non aiuterebbe per gli intervalli esterni alla parte di funzione compresa tra i 2 eventuali punti di flesso (ovviamente).
Tuttavia, carta e penna alla mano, la derivata seconda è $ (2x-2)/x^2 $
Che è maggiore di zero se e solo se $ x >= 1 $
Essendoci, dunque, un unico punto di flesso in $ (1,0) $ , non è possibile applicare quella piccola idea che avevo in mente.
Credo che domattina chiederò delucidazioni in proposito al prof: a parte la risoluzione grafica ( che utilizzavo anch'io a liceo, di frequente ) non mi viene davvero nient'altro in mente!
Purtroppo vorrei evitare il metodo grafico, cosa che, a detta del mio prof di analisi, è una pratica generalmente diffusa ma quasi mai corretta, in quanto un grafico mooolto qualitativo, quale può essere uno realizzato da un essere umano ( pur su carta millimetrata volendo ) , non è affidabile per questo genere di cose, meno che mai nel mio caso, in quanto per determinare gli intervalli di monotonia devo per certo conoscere con precisione quali siano i punti di minimo e di massimo ( ovvero le coordinate ottenibili tradizionalmente, quando però la derivata è studiabile , studiando il segno di quest'ultima ).
Stamattina, mentre tornavo dall'università, ho pensato a qualcosa che potrebbe parzialmente aiutarmi nella risoluzione:
Lasciando un attimo da parte la derivata prima e calcolando la derivata seconda, ho pensato che, nel caso in cui risolvendo la disequazione associata alla derivata seconda si ottengano 2 punti di flesso, osservandone la posizione reciproca sarebbe possibile risalire alla monotonia in quell'intervallo . Tuttavia questo non aiuterebbe per gli intervalli esterni alla parte di funzione compresa tra i 2 eventuali punti di flesso (ovviamente).
Tuttavia, carta e penna alla mano, la derivata seconda è $ (2x-2)/x^2 $
Che è maggiore di zero se e solo se $ x >= 1 $
Essendoci, dunque, un unico punto di flesso in $ (1,0) $ , non è possibile applicare quella piccola idea che avevo in mente.
Credo che domattina chiederò delucidazioni in proposito al prof: a parte la risoluzione grafica ( che utilizzavo anch'io a liceo, di frequente ) non mi viene davvero nient'altro in mente!
Non ho capito la tua idea sui flessi ma non mi sembra corretta....
Tuttavia, il metodo grafico è l'unica alternativa in generale; questo che hai davanti è però un caso MOLTO particolare, infatti ti puoi accorgere [FACENDO IL GRAFICO] che le due curve si intersecano in un punto che è così bello che ha addirittura coordinate intere!
Da qui puoi risolvere in maniera esatta.
Tuttavia, il metodo grafico è l'unica alternativa in generale; questo che hai davanti è però un caso MOLTO particolare, infatti ti puoi accorgere [FACENDO IL GRAFICO] che le due curve si intersecano in un punto che è così bello che ha addirittura coordinate intere!
Da qui puoi risolvere in maniera esatta.
La mia idea sui flessi, ammesso che sia corretta, comunque risolverebbe solo parzialmente il problema. Sostanzialmente, nel caso in cui dallo studio della derivata seconda ( di una qualsiasi funzione ) si ottengano ad esempio almeno 2 punti di flesso, che sono punti del grafico della funzione, se il primo partendo da sinistra è, ad esempio, posto più in alto del secondo immediatamente a destra, vorrà dire che la funzione, tra questi 2 punti di flesso, decresce. Ottenendo dunque la monotonia in un mini intervallino.
Comunque lasciamo perdere, come dicevi potrei anche sbagliarmi . E non sono del tutto di sicuro della bontà di quello che ho scritto!
Provo a fare come dici.
In ogni caso domani vediamo il prof che mi dice, così magari poi posto il responso !
P.s. : Ma il tuo avatar vuole rifarsi a qualcosa tipo un integrale? Con il delta... ahahah geniale!
Comunque lasciamo perdere, come dicevi potrei anche sbagliarmi . E non sono del tutto di sicuro della bontà di quello che ho scritto!
Provo a fare come dici.
In ogni caso domani vediamo il prof che mi dice, così magari poi posto il responso
!P.s. : Ma il tuo avatar vuole rifarsi a qualcosa tipo un integrale? Con il delta... ahahah geniale!
"claw91":
Sostanzialmente, nel caso in cui dallo studio della derivata seconda ( di una qualsiasi funzione ) si ottengano ad esempio almeno 2 punti di flesso, che sono punti del grafico della funzione, se il primo partendo da sinistra è, ad esempio, posto più in alto del secondo immediatamente a destra, vorrà dire che la funzione, tra questi 2 punti di flesso, decresce. Ottenendo dunque la monotonia in un mini intervallino.
Ok, ora ho capito cosa vuoi dire!
Ed è [molto] sbagliato!!
Se ci pensi puoi anche trovare facilmente un controesempio.
Comunque ci sto ancora ragionando su, ma non ne vengo a capo!
Provando con il metodo grafico di cui parlavi tu... ovvero intersecando le due curve, ti riferisci a
$ log(x^2)+(2)/x+2 > 0$ ?
In ogni caso non capisco come sia possibile determinare tramite procedimento algebrico le coordinate del punto di intersezione...
Provando con il metodo grafico di cui parlavi tu... ovvero intersecando le due curve, ti riferisci a
$ log(x^2)+(2)/x+2 > 0$ ?
In ogni caso non capisco come sia possibile determinare tramite procedimento algebrico le coordinate del punto di intersezione...
Il metodo grafico è quello che ti porta a riscrivere la disequazione come, ad esempio, [tex]\log(x^2) > -2-\frac{2}{x}[/tex] e poi a disegnare sul piano cartesiano [tex]y = \log(x^2)[/tex] e [tex]y = -2-\frac{2}{x}[/tex] e vedere come si comportano queste due curve: guardando dove una sta sopra all'altra puoi vedere dove è verificata la disequazione.
In maniera algebrica invece non c'è un modo per avere le coordinate esatte dei punti di intersezione!
In maniera algebrica invece non c'è un modo per avere le coordinate esatte dei punti di intersezione!
Arrivare alla soluzione algebrica esatta è vero che non si può, ma si può ragionare anche non graficamente per riuscire a stabilire gli intervalli di monotonia. La derivata prima è $g(x)=log(x^2)+2/x+2$. Si ha che $g \to +\infty$ per $x \to \pm \infty$, $g \to \pm\infty$ per $x \to 0^\pm$ e $g'(x)=(2x-2)/(x^2)$ da cui $g$ decresce strettamente in $(-\infty,0) \cup (0,1)$, e cresce strettamente in $(1,+\infty)$. Per il Teorema degli zeri esiste un solo $x_0<0$ tale che $g(x_0)=0$. Avendosi poi $g(1)=4>0$ si conclude che $g>0$ in $(-\infty,x_0) \cup (0,+\infty)$ mentre $g<0$ in $(x_0,0)$, che conclude lo studio della monotonia di $f$. Poi se uno ha occhio capisce che $x_0=-1$, ma qui non c'è modo analitico per trovarlo esattamente se uno non lo indovina.
Perfettamente chiaro il ragionamento e lo svolgimento, e te ne ringrazio.
L'unica cosa che non mi convince pienamente è la parte sul teorema degli zeri: hai asserito che, dati i limiti agli estremi dell'intervallo $ (0,+oo) $ , entrambi uguali a $ +oo $ , la funzione è sempre positiva in tale intervallo, e fin qui ci sono; mentre, dato che i limiti agli estremi dell'intervallo $ (-oo,0) $ , hanno segno opposto, rispettivamente $ +oo $ per il limite a $ -oo $, e $ -oo $ per il limite a $ 0 $ da sinistra, per il teorema di bolzano esiste almeno una radice in tale intervallo.
Tuttavia, da quello che mi sembra di aver capito, il teorema degli zeri vale quando si prende un considerazione un intervallo chiuso, ma, ovviamente, $ (-oo,0) $ non lo è.
Cosa mi sfugge?
L'unica cosa che non mi convince pienamente è la parte sul teorema degli zeri: hai asserito che, dati i limiti agli estremi dell'intervallo $ (0,+oo) $ , entrambi uguali a $ +oo $ , la funzione è sempre positiva in tale intervallo, e fin qui ci sono; mentre, dato che i limiti agli estremi dell'intervallo $ (-oo,0) $ , hanno segno opposto, rispettivamente $ +oo $ per il limite a $ -oo $, e $ -oo $ per il limite a $ 0 $ da sinistra, per il teorema di bolzano esiste almeno una radice in tale intervallo.
Tuttavia, da quello che mi sembra di aver capito, il teorema degli zeri vale quando si prende un considerazione un intervallo chiuso, ma, ovviamente, $ (-oo,0) $ non lo è.
Cosa mi sfugge?
Buona l'osservazione, denota che sei attento e ragioni. Si tratta di una variante: le condizioni ai limiti in $-\infty$ e $0$ ti dicono che esiste un intervallo $[a,b] \subset (-\infty,0)$ tale che $g$ assume valori discordi agli estremi di $[a,b]$. Qui dentro applichi il th degli zeri e, grazie alla stretta monotonia, hai anche l'unicità. Al di fuori di tale intervallo usi ancora la monotonia, e $g$ non può avere altri zeri.
Ah ecco... svelato l'arcano! :-)
Non conoscevo questa variante, tuttavia sembra risultare davvero molto utile in più casi.
Grazie per l'utile suggerimento, imparare una cosa nuova non fa mai male!
Non conoscevo questa variante, tuttavia sembra risultare davvero molto utile in più casi.
Grazie per l'utile suggerimento, imparare una cosa nuova non fa mai male!
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