Determinazione funzione implicita e punti critici
Ci fosse stato un solo esercizio svolto correttamente nella giornata di ieri, senza dubbi in proposito, senza difficoltà alcuna.
Mi dispiace tediarvi di nuovo. Vi presento l'esercizio
:
il testo chiede di dimostrare che f(x.y)=0 definisce un'unica funzione implicita $y:R ->R$. Inoltre si chiede di determinarne eventuali punti critici per y.
Vi mostro il mio procedimento.
La funzione è $f(x,y)=(x-2)^2+e^y-y^2 :R^2 ->R$
La funzione risulta essere continua. Inoltre esiste $f_y(x,y)=e^y-2y>0$
$f(0,0)=5$ allora il luogo geometrico è non vuoto.
Fissato x appartenente a R, calcolo i limiti:
$lim_{y to +oo}f(x,y)=+oo , lim_{y to -oo}f(x,y)=-oo}$
Come dal teorema di Dini, per ogni $x*$ appartenente a R, esiste un unico $y*$ appartenente ad R tale che $f(x*,y*)=0$
Allora, $f(x,y)=0$ permette di definire implicitamente una funzione $y:R->R$
$f(x,y)=0$ permette di definire implicitamente un'unica funzione continua e derivabile:
$y'(x)= -(2(x-2))/(e^y-2y)$ $:R->R$
Ho calcolato la $y''(x)=(xy-2e^(y(x))-2x+4)/(e^y-2y)^2$
La quantità al denominatore è sempre positiva.
Al fine di studiare il segno della $y''(x)$ ho raggruppato così da ottenere $x(y-2)-2(e^y-2)$
Ho tenuto presente che $e^y>y$ così da operare la sostituzione per semplificarmi i calcoli: $(x-2)(y-2)$ e determinarne concavità e convessità.
Tuttavia, non sono riuscito a determinare i punti critici...
Non trovo punti di massimo e/o minimo dai miei calcoli...spero che possiate indirizzarmi su qualche altra via.
Vi ringrazio.
A vostra disposizione,
Alex
Mi dispiace tediarvi di nuovo. Vi presento l'esercizio
:il testo chiede di dimostrare che f(x.y)=0 definisce un'unica funzione implicita $y:R ->R$. Inoltre si chiede di determinarne eventuali punti critici per y.
Vi mostro il mio procedimento.
La funzione è $f(x,y)=(x-2)^2+e^y-y^2 :R^2 ->R$
La funzione risulta essere continua. Inoltre esiste $f_y(x,y)=e^y-2y>0$
$f(0,0)=5$ allora il luogo geometrico è non vuoto.
Fissato x appartenente a R, calcolo i limiti:
$lim_{y to +oo}f(x,y)=+oo , lim_{y to -oo}f(x,y)=-oo}$
Come dal teorema di Dini, per ogni $x*$ appartenente a R, esiste un unico $y*$ appartenente ad R tale che $f(x*,y*)=0$
Allora, $f(x,y)=0$ permette di definire implicitamente una funzione $y:R->R$
$f(x,y)=0$ permette di definire implicitamente un'unica funzione continua e derivabile:
$y'(x)= -(2(x-2))/(e^y-2y)$ $:R->R$
Ho calcolato la $y''(x)=(xy-2e^(y(x))-2x+4)/(e^y-2y)^2$
La quantità al denominatore è sempre positiva.
Al fine di studiare il segno della $y''(x)$ ho raggruppato così da ottenere $x(y-2)-2(e^y-2)$
Ho tenuto presente che $e^y>y$ così da operare la sostituzione per semplificarmi i calcoli: $(x-2)(y-2)$ e determinarne concavità e convessità.
Tuttavia, non sono riuscito a determinare i punti critici...
Non trovo punti di massimo e/o minimo dai miei calcoli...spero che possiate indirizzarmi su qualche altra via.
Vi ringrazio.
A vostra disposizione,
Alex
Risposte
Dall'espressione della derivata prima vedi che l'unico punto critico è $2$; inoltre vedi anche che $y'(x)>0$ per $x<2$, e $y'(x)<0$ per $x>2$, quindi $x=2$ è un punto di massimo assoluto.
PS: cosa vuol dire che se $f(0,0)=5$ allora il luogo geometrico è non vuoto???
PS: cosa vuol dire che se $f(0,0)=5$ allora il luogo geometrico è non vuoto???
"Rigel":
PS: cosa vuol dire che se $f(0,0)=5$ allora il luogo geometrico è non vuoto???
Mi è stato consigliato di calcolare nell'origine la funzione, per vedere che "il problema così posto non è banale" ;D
Grazie Rigel. Ad esser onesto non mi ero accordo di quel punto critico
No, alex.
Per dimostrare che il problema non è banale dovresti trovare almeno una soluzione dell'equazione [tex]$f(x,y)=0$[/tex].
Mentre di solito prendere [tex]$(x,y)=(0,0)$[/tex] funziona, in questo caso no.
Per dimostrare che il problema non è banale dovresti trovare almeno una soluzione dell'equazione [tex]$f(x,y)=0$[/tex].
Mentre di solito prendere [tex]$(x,y)=(0,0)$[/tex] funziona, in questo caso no.
Grazie Gugo per la correzione. Avrei sbagliato miseramente. Grazie infinite per l'intervento. E' sempre bello poter imparare
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