Determinazione dominio funzione integrale
Vorrei poter capire come determinare il dominio di funzioni del tipo
$f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t) dt$
il resto di uno studio di funzione integrale mi è abbastanza chiaro, le uniche incertezze le ho nella determinazione del dominio, il procedimento non mi è per niente chiaro. E' possibile trovare un algoritmo preciso che permetta di capirlo?
Per esempio su una funzione del genere:
$f(x)=\int_{\arccos x}^{\arcsin x}1/(1+\sin^2 t)dt$
come si dovrebbe procedere?
Grazie
$f(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} g(t) dt$
il resto di uno studio di funzione integrale mi è abbastanza chiaro, le uniche incertezze le ho nella determinazione del dominio, il procedimento non mi è per niente chiaro. E' possibile trovare un algoritmo preciso che permetta di capirlo?
Per esempio su una funzione del genere:
$f(x)=\int_{\arccos x}^{\arcsin x}1/(1+\sin^2 t)dt$
come si dovrebbe procedere?
Grazie
Risposte
In generale, si controlla il dominio dell'integranda e poi dove essa è integrabile.
Nel tuo caso, devi:
*trovare il dominio di $g(t)$
*controllare che il dominio trovato sia contenuto dalle funzioni poste agli estremi di integrazione - volendo si può sfruttare il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale[nota]$f(x)=int_(alpha(x))^(beta(x)) g(t)text(d)t => f'(x)=g(beta(x)) cdot beta'(x)-g(alpha(x)) cdot alpha'(x)$[/nota] a meno della costante di integrazione: in questo caso
\[f\left( x \right) = \int_{\arccos \left( x \right)}^{\arcsin \left( x \right)} {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}\left( t \right)}}{\rm{d}}t} = \int {\left( {\frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}{{1 + {{\sin }^2}\left[ {\arcsin \left( x \right)} \right]}} + \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}{{1 + {{\sin }^2}\left[ {\arccos \left( x \right)} \right]}}} \right){\rm{d}}x} - c\]
*controllare l'integrabilità: in pratica, laddove l'integranda è continua nel suo dominio è ivi integrabile. Il "problema" dunque è controllare se la funzione è integrabile in modo improprio agli estremi del dominio: bisogna cioè verificare la convergenza dell'integrale in tali punti - guarda qui. La convergenza nel punto indica che questi fa parte del dominio dell'integrale.
Nel tuo caso, devi:
*trovare il dominio di $g(t)$
*controllare che il dominio trovato sia contenuto dalle funzioni poste agli estremi di integrazione - volendo si può sfruttare il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale[nota]$f(x)=int_(alpha(x))^(beta(x)) g(t)text(d)t => f'(x)=g(beta(x)) cdot beta'(x)-g(alpha(x)) cdot alpha'(x)$[/nota] a meno della costante di integrazione: in questo caso
\[f\left( x \right) = \int_{\arccos \left( x \right)}^{\arcsin \left( x \right)} {\frac{1}{{1 + {{\sin }^2}\left( t \right)}}{\rm{d}}t} = \int {\left( {\frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}{{1 + {{\sin }^2}\left[ {\arcsin \left( x \right)} \right]}} + \frac{{\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}{{1 + {{\sin }^2}\left[ {\arccos \left( x \right)} \right]}}} \right){\rm{d}}x} - c\]
*controllare l'integrabilità: in pratica, laddove l'integranda è continua nel suo dominio è ivi integrabile. Il "problema" dunque è controllare se la funzione è integrabile in modo improprio agli estremi del dominio: bisogna cioè verificare la convergenza dell'integrale in tali punti - guarda qui. La convergenza nel punto indica che questi fa parte del dominio dell'integrale.
Grazie mille 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo