Determinare {x ∈ R : sin(2x) = 2 sin(x)}

[gianpaolocaforio]

Buonasera,
Affrontando vari esercizi nella preparazione dell'esami di analisi 1 mi sono imbattuto in questo esercizio, e vorrei capire come procedere, grazie mille!

Determinare {x ∈ R : sin(2x) = 2 sin(x)}. Giustificare il risultato.

[moccidentale]

.

[gugo82]

Dai, ti si sta chiedendo di risolvere un'equazione goniometrica... Roba da superiori.

[gianpaolocaforio]

"sellacollesella":Comincia ricordando la formula di duplicazione del seno, quindi porta tutto a membro sinistro, ecc.

Ciao e grazie per la risposta,
avevo un dubbio perché era una traccia di un appello d'esame e mi sembrava troppo semplice risolvere in due passaggi. Pensavo ci fosse qualcosa di più complicato che non stavo notando
Ho proceduto cosi:
sapendo : sin(2x)=2sinxcosx
quindi sostituisco
2sinxcosx=2sinx
cosx=1 ===> x=0+kPgreco

[Mephlip]

"Giancaf":
2sinxcosx=2sinx
cosx=1 ===> x=0+kPgreco

Occhio, qui hai diviso per $0$ parecchie volte. Inoltre, non è vero che $\cos x=1$ per $x=k\pi$. Ad esempio, se $k=1$ che succede?

[gianpaolocaforio]

"Mephlip":[quote="Giancaf"]
2sinxcosx=2sinx
cosx=1 ===> x=0+kPgreco

Occhio, qui hai diviso per $0$ parecchie volte. Inoltre, non è vero che $\cos x=1$ per $x=k\pi$. Ad esempio, se $k=1$ che succede?[/quote]
Giusto $x=2kpi$
Ma in che senso ho diviso per zero?
Se per esempio procedo diversamente:
$2sin x cos x = 2sin x$
$2sin x cos x - 2sin x=0$
$2sin x (cos x -1)=0$
quindi :
$2sin x = 0$ o $cos x - 1 = 0$ cioè $sin x = 0$ o $cos x = 1 $
Quindi $x=2kpi$

[Mephlip]

"Giancaf":
Ma in che senso ho diviso per zero?

Facciamo un esempio più semplice. Vogliamo risolvere $x^2=x$. Le soluzioni si vedono ad occhio, sono $x=0$ oppure $x=1$. Ma se divido per $x$ ambo i membri giungo solo a $x=1$. Capisci ora l'errore?

"Giancaf":Se per esempio procedo diversamente:
...
2sinx(cosx−1)=0
quindi :
2sinx=0 o cosx−1=0 cioè sinx=0 o cosx=1
Quindi x=2kpi

Ma perché consideri la periodicità solo sul coseno? Il seno pure si annulla infinite volte per periodicità, e non solo per $2k\pi$.

[gianpaolocaforio]

"Mephlip":
Ma perché consideri la periodicità solo sul coseno? Il seno pure si annulla infinite volte per periodicità, e non solo per $2k\pi$.

Quindi la soluzione corretta sarebbe ${x=2pi + 2kpi$ ; $x=pi+kpi}$ ?

[Mephlip]

Eh, dipende che intendi con quel punto e virgola. Di solito la virgola negli insiemi è un abuso di notazione che sta ad indicare la congiunzione logica "e". In ogni caso, la tua scrittura delle soluzioni è ridondante: puoi descrivere tutto l'insieme con $x=k\pi$ perché gli altri che hai scritto sono tutti multipli interi di $\pi$.