Determinare volume insieme E (analisi 2)

[gbspeedy]

E={ (x,y,z): 9[ (2x+y)^(2) + (x+3y)^(2)]>=z^(2) , (2x+y)^(2) + (x+3y)^2 <= z <= 4 - (2x+y)^(2) - (x+3y)^ (2) , 2y >= x }

risultato: (pigreco/5) * (41/12 - (4/3)*radice(2))

ho fatto un cambiamento di variabili : u=2x+y v=x+3y w=z e calcolato la matrice jacobiana

così passo da un insieme E a un insieme D={(u,v,w) : 9(u^2+v^2) >= w^2 , u^2+v^2 <= w <= 4-u^2-v^2, u <= v}

V= $ int int int_()^( )\ 1/5 du\ dv\ dw $

ho provato a utilizzare le coordinate cilindriche per D ma non ottengo il risultato.Qualsiasi suggerimento è ben accetto.Grazie

[ciampax]

Scrivi un po' meglio quell'insieme usando i tag per le formule

[gbspeedy]

E={ $ 9 $ $ [(2x+y)^(2) + (x+3y)^ (2)]>= z^(2) , (2x+y)^(2) + (x+3y)^ (2) <= z <= 4 - (2x+y)^(2) - (x+3y)^(2) , 2y>=x $ }

[gbspeedy]

D={$9(u^(2)+v^(2))>=w^(2), u^(2)+v^(2)<=w<=4-u^(2)-v^(2), u<=v $}

[ciampax]

La prima trasformazione è corretta. A questo punto io porrei:

[tex]$u=\rho\cos\theta,\qquad v=\rho\sin\theta,\qquad w=w$[/tex]

per cui le condizioni diventano

[tex]$9\rho^2\ge w^2,\ \rho^2\le w\le 4-\rho^2,\ \cos\theta\le\sin\theta$[/tex]

[gbspeedy]

$ pi/4<= theta <= 5/4pi $ ma le prime due come le incastro?[/spoiler]