Determinare valori parametro affinchè serie converga

[bad.alex]

La consegna è la seguente: determinare i valori del parametro $alpha$ non negativo tali che la serie (da n=1 a +oo) di argomento
$alpha^n/((alpha+1)(alpha+1/3)(alpha+1/5)...(alpha+1/(2n-1)))$ converga.
Per $alpha=0$, la serie è sicuramente convergente. Non resta che determinare casi restanti. $alpha^n$ ricorda la serie geometria e sappiamo che per $alpha>=1$ diverge. Non mi resterebbe che determinare gli altri valori. Ma non saprei come considerare il denominatore...Pensavo di applicare criterio del rapporto così da trovare che il denominatore si comporta come $alpha+1/(2n+1)$...
vi ringrazio per l'attenzione.

[dissonance]

Secondo me hai praticamente finito. L'idea di usare il criterio del rapporto mi pare efficace per toglierti davanti quel prodotto bruttissimo. Calcola il limite del rapporto: che cosa ottieni?

[bad.alex]

"dissonance":Calcola il limite del rapporto: che cosa ottieni?

per n->+oo ottengo semplicemente $alpha$.

[dissonance]

E allora? Per $01$? E per $alpha=1$?

[bad.alex]

"dissonance":E allora? Per $01$? E per $alpha=1$?

dal criterio del rapporto, per $alpha>1 $ si ha che la serie diverge, per$0

Cita

Segnala

[dissonance]

Per $alpha=1$, come dici tu, bisogna trovare un sistema ad hoc. Intanto, riscriviamo la serie in forma compatta:
$sum_{n=1}^infty1/(prod_{k=1}^n(1+1/(2k-1)))$.

Non è un'espressione semplice, ma almeno $alpha$ non c'è più. Fai un po' di verifiche del caso. A cosa tende il termine generale? Se non tende a 0 hai finito. Per calcolare $lim_{n\toinfty}prod_{k=1}^n(1+1/(2k-1))$, prova a passare ai logaritmi.

[bad.alex]

"dissonance": prova a passare ai logaritmi.

passando ai logaritmi trovo:
$e^(log(a_1)(a_2)...(a_n))=e^((log(a_1)+log(a_2)+...+log(a_n))$ avendo imposto $ a_n=1+1/(2n-1)$
man mano che n cresce, 1/(2n-1) ->0 ... Ma il limite non saprei quanto faccia...

[dissonance]

Io veramente parlavo di un'altra cosa, che a questo punto spiego perché secondo me torna utile. Come sappiamo, il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi. Questa proprietà è utilissima nella pratica. In termini terra-terra, quando vedi una produttoria $prod_{k=1}^na_k$, la prima cosa che ti puoi fare venire in mente è studiare $log[prod_{k=1}^na_k]$ invece. Infatti quest'ultimo affare è uguale a $sum_{k=1}^nlog(a_k)$.



_______________________
Ora torniamo al nostro esercizio. Avevo pensato che, applicando il trucco di cui sopra, succedesse qualcosa di risolutivo. Ho fatto qualche calcolo rapido, però, e mi pare che non si arrivi rapidamente ad una soluzione con questo sistema. Bisogna trovarne un altro ancora. Prova ad applicare qualche criterio di convergenza, che non sia quello del rapporto, che hai già sfruttato. Qualcosa deve succedere.

[bad.alex]

dissonance, sulla prima parte è ok. Per passare ai logaritmi ho scritto la somma singola, senza utilizzare il simbolo sommatoria. Per l'esercizio, provo in altro modo....questo esercizio giuro che mi sta facendo impazzire. Ti ringrazio per la pazienza.

[dissonance]

Per il fatto dei logaritmi sono contento che ci siamo capiti. Invece per l'esercizio in generale ti dico di non preoccuparti, perché è abbastanza difficile; ecco perché non ci stai riuscendo. Però è bello perché ti fa passare in rassegna un po' tutti i criteri di convergenza e anche varie tecniche (come questa di passare ai logaritmi) che tornano utili molto spesso. Poi che uno riesca o meno a risolvere l'esercizio, è secondario. (Adesso devo andare, appena riesco a trovare qualche minuto provo a risolverlo io, e se ci riesco poi te lo spiego. Ripeto: se ci riesco... )

[bad.alex]

"dissonance":Poi che uno riesca o meno a risolvere l'esercizio, è secondario. (Adesso devo andare, appena riesco a trovare qualche minuto provo a risolverlo io, e se ci riesco poi te lo spiego. Ripeto: se ci riesco... )

ti ringrazio dissonance. Mi dispiace di averti rubato così tanto tempo. Ma sinora non ho davvero trovato una via d'uscita.