Determinare un piano formante un angolo con una retta

[mr.bell]

Ciao, ho dei problemi a capire come risolvere gli esercizi sullo spazio in cui viene dato un angolo. Nello specifico l'esercizio è il seguente:

Su

[math]E^3[/math]

determinare,
Piano passante per A(0,1,0) che formi con la retta r un angolo di

[math]\frac{\pi}{4}[/math]

,

sapendo che r è la seg. retta:

[math]\left\{\begin{array}
x-y+z=0 \\ y+2z=3
\end{array}
\right.
[/math]

Ho passato r alla forma parametrica per ricavare il vettore che indica la sua direzione ed ho trovato che è:

[math]v_r[/math]

(-3,-2,1), ma non riesco a capire come ricavare la direzione perpendicolare al piano (sappendo questa trovare l'equazione è facile) con i dati che ho a disposizione. immagino che dovrei usare il prodotto scalare... mi serve il vostro aiuto!

[mc2]

Innanzi tutto, per favore, ricontrolla i dati che hai scritto: non mi risulta che la retta r abbia quei parametri direttori: o hai dimenticato qualche x nella definizione di r, oppure il tuo vettore v_r e` sbagliato


Ti rispondo in modo generale.

Dato un piano di equazione

[math]ax+by+cz+d=0[/math]

il vettore perpendicolare al piano e` semplicemente

[math]\vec{u}=(a,b,c)[/math]

.

Tu hai una retta parallela al vettore

[math]\vec{v}=(m,n,p)[/math]

e vuoi che la retta ed il piano formino tra loro un angolo

[math]\theta[/math]

, quindi tra il vettore

[math]\vec{v}[/math]

(parallelo alla retta) ed il vettore

[math]\vec{u}[/math]

(perpendicolare al piano) ci deve essere un angolo

[math]\frac{\pi}{2}-\theta[/math]

.


La condizione da imporre si ottiene con il prodotto scalare (come hai previsto):

[math]\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)[/math]

[cb121]

ciao. Siccome anch'io ho qualche difficoltà con questa tipologia di esercizi, ho provato a farlo come indicato da mc2 ma mi sorge un dubbio.

innanzitutto credo che l'utente che ha fatto la domanda ha dimenticato una x nella prima equazione del sistema di piani che rappresenta la retta r. infatti la retta

{x-y+z=0, y+2z=3

ha effettivamente direzione v =(-3,-2,1).

Il mio dubbio è il seguente:

facendo il prodotto scalare tra u e v ed imponendo l'angolo a π/4 ci sarebbero tre incognite : a,b,c le componenti del vettore ortogonale al piano ma una sola equazione. come si farebbe per trovare il valore di queste incognite?

[mc2]

Infatti il problema e` indeterminato. Ci sono infiniti piani passanti per A e formanti un angolo pi/4 con r.

Ci vuole qualche informazione in piu` per trovare un piano ben definito.