Determinare triangolo isoscele con area massima

[Prostaferesi]

Tra tutti i triangoli isosceli iscritti in una circonferenza di raggio r, determinare quello di area massima.

Allora, io l'ho disegnato in modo da avere come angoli alla base CAB e CBA. Ho tracciato l'altezza CH e l'ho posta uguale a x. Ora però mi chiedo, come posso ricavarmi la base AB? Il raggio r può tornarmi utile?

[gugo82]

Con considerazioni di Geometria Elementare?

Ad ogni modo, secondo me ti conviene chiamare \(x\) la metà della base e ricavare l'altezza in funzione di \(x\).

[Prostaferesi]

però mi servirebbe l'ipotenusa :/

Comunque, il libro suggeriscein questo modo:

Posto CH=x, l'area è $A(x)=xsqrt(x(2r-x))...$

Mi chiedo da dove è stato ricavato quel $sqrt(x(2r-x))$

[gugo82]

Come al solito, basta farsi un disegnino e ragionarci sopra un po'...

Chiamiamo \(x\) l'altezza \(CH\); in tal modo il segmento \(OH\) misura \(x-r\) ed è l'altezza del triangolo isoscele \(AOB\), i cui lati obliqui \(AO\) ed \(OB\) misurano \(r\).
Per il teorema di Pitagora applicato ai triangoli \(AOH\) e \(HOB\) si ha:
\[
|AH|=|HB|=\sqrt{r^2-(x-r)^2}=\sqrt{2xr-x^2}=\sqrt{x(2r-x)}
\]
quindi la base \(AB\) misura \(|AH|+|HB|=2|AH|=2\sqrt{x(2r-x)}\) e l'area che ti interessa è:
\[
\mathcal{A} =\frac{1}{2}\ |CH|\ |AB| =x\ \sqrt{x(2r-x)}\; .
\]

[Prostaferesi]

cavolo non avevo considerato di poter tracciare il triangolo AOB. Grazie mille per i chiarimenti