Determinare somma e insieme di convergenza di una serie di funzioni
ciao a tutti,
ho la seguente serie: $ \Sigma_(n=2->∞) (-1)^(n+1)/(n*2^(2n)) * x^(4n+1) $ ,
mediante lo sviluppo in serie di $ log (x+1) $, posto $ t = x^4/4 $, arrivo alla conclusione che la serie di partenza è uguale a $ Sigma_(n=2->∞) (-1)^(n+1)/(n*2^(2n)) * x(4n+1) = -t^2/2 + t^3/3 ... $, [strike]coincide pertanto con lo sviluppo di $ log(1+t) - t $[/strike]
il raggio di convergenza della serie di potenze è uguale a 1, dunque per il teorema di Abel si ha convergenza in $ (0, 1] $.
è corretto?
inoltre: mi chiedevo il perchè di una osservazione fatta: occorre studiare sia la convergenza assoluta che quella uniforme della serie.. come mai?
ho la seguente serie: $ \Sigma_(n=2->∞) (-1)^(n+1)/(n*2^(2n)) * x^(4n+1) $ ,
mediante lo sviluppo in serie di $ log (x+1) $, posto $ t = x^4/4 $, arrivo alla conclusione che la serie di partenza è uguale a $ Sigma_(n=2->∞) (-1)^(n+1)/(n*2^(2n)) * x(4n+1) = -t^2/2 + t^3/3 ... $, [strike]coincide pertanto con lo sviluppo di $ log(1+t) - t $[/strike]
il raggio di convergenza della serie di potenze è uguale a 1, dunque per il teorema di Abel si ha convergenza in $ (0, 1] $.
è corretto?
inoltre: mi chiedevo il perchè di una osservazione fatta: occorre studiare sia la convergenza assoluta che quella uniforme della serie.. come mai?
Risposte
Secondo me la somma e' $ f(x)=xln(1+x^4/4)-x^5/4 $ non $ ln(1+t)-t $ . Infatti:
$ sum_(n=2)^(+oo)(-1)^(n+1)/(n2^(2n))x^(4n+1)=xsum_(n=2)^(+oo)(-1)^(n+1)/(n2^(2n))x^(4n)=xln(1+x^4/4)-x^5/4 $.
La serie del logaritmo $ ln(1+y) $ converge per $ y in (-1,1] $ quindi tira le conseguenze rispetto ad x.
La convergenza uniforme e' una proprieta' piu' restrittiva rispetto alla convergenza puntuale: ci sono serie che convergono puntualmente ma non uniformemente su tutto l'intervallo di definizione, naturally. Poi se una serie converge assolutamente allora converge puntualmente, ma la convergenza assoluta non implica la convergenza uniforme.
$ sum_(n=2)^(+oo)(-1)^(n+1)/(n2^(2n))x^(4n+1)=xsum_(n=2)^(+oo)(-1)^(n+1)/(n2^(2n))x^(4n)=xln(1+x^4/4)-x^5/4 $.
La serie del logaritmo $ ln(1+y) $ converge per $ y in (-1,1] $ quindi tira le conseguenze rispetto ad x.
La convergenza uniforme e' una proprieta' piu' restrittiva rispetto alla convergenza puntuale: ci sono serie che convergono puntualmente ma non uniformemente su tutto l'intervallo di definizione, naturally. Poi se una serie converge assolutamente allora converge puntualmente, ma la convergenza assoluta non implica la convergenza uniforme.
hai ragione sulla somma, grazie 
una domanda: c'è un qualche legame tra convergenza assoluta e c. uniforme?
una domanda: c'è un qualche legame tra convergenza assoluta e c. uniforme?
ehm, scusa forse ho modificato il messaggio sopra dopo che tu hai scritto il tuo perche' mi ero dimenticato che essa partiva da n=2...ora garantisco che e' corretta.
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