Determinare, se esistono. massimo e minimo della funzione
Determinare, se esistono, massimo e minimo in $D = {(x, y) ∈ R^2 $ : $x^2 + y^2 ≤ x}$ della funzione
$$ f(x,y) = xy^2 + x^2y - xy - x^2y^2 $$
Determinare l’estremo superiore e inferiore di $f$ in $R^2$.
Io ho provato cosi, innanzitutto mi sono ricavato $f_x = y^2 + 2xy - y + 2xy^2$ e $f_y = 2xy + x^2 - x - 2x^2y$.
Poi ho imposto le condizioni:
$$ y^2 + 2xy - y + 2xy^2 = 0 \wedge 2xy + x^2 - x - 2x^2y = 0 $$
E trovo:
$$ P_1 = (0,0) \wedge P_2 = (0,1) \wedge P_3 = (1,0) \wedge P_4 = (1,1) \wedge P_5 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $$
$P_2$ e $P_4$ sono da escludere perchè fuori dall'insieme $D$.
Studiando l'Hessiana nei punti rimanenti si ottiene che $P_1$ e $P_3$ sono selle e $P_4$ è un minimo.
A questo punto vorrei studiare la frontiera ma ho difficoltà nella parametrizzazione.
Avevo provato cosi:
$$ x(t) = \sqrt{t}cos(t) \wedge y(t) = \sqrt{t} sin(t) $$
Poichè la frontiera è una circonferenza di raggio $\sqrt{x}$. Ma i calcoli vengono assurdi. C'è un altro modo di fare l'esercizio o si può concludere che i punti di massimo e minimo sono solo quelli interni?
$$ f(x,y) = xy^2 + x^2y - xy - x^2y^2 $$
Determinare l’estremo superiore e inferiore di $f$ in $R^2$.
Io ho provato cosi, innanzitutto mi sono ricavato $f_x = y^2 + 2xy - y + 2xy^2$ e $f_y = 2xy + x^2 - x - 2x^2y$.
Poi ho imposto le condizioni:
$$ y^2 + 2xy - y + 2xy^2 = 0 \wedge 2xy + x^2 - x - 2x^2y = 0 $$
E trovo:
$$ P_1 = (0,0) \wedge P_2 = (0,1) \wedge P_3 = (1,0) \wedge P_4 = (1,1) \wedge P_5 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $$
$P_2$ e $P_4$ sono da escludere perchè fuori dall'insieme $D$.
Studiando l'Hessiana nei punti rimanenti si ottiene che $P_1$ e $P_3$ sono selle e $P_4$ è un minimo.
A questo punto vorrei studiare la frontiera ma ho difficoltà nella parametrizzazione.
Avevo provato cosi:
$$ x(t) = \sqrt{t}cos(t) \wedge y(t) = \sqrt{t} sin(t) $$
Poichè la frontiera è una circonferenza di raggio $\sqrt{x}$. Ma i calcoli vengono assurdi. C'è un altro modo di fare l'esercizio o si può concludere che i punti di massimo e minimo sono solo quelli interni?
Risposte
Credo che non ti serva fare tutti quei conti, puoi fare considerazioni sull'insieme e sulla funzione per stabilire se massimo e minimo esistono (un teorema molto importante di analisi aiuta in questo caso); per l'estremo superiore e inferiore puoi fare considerazioni su delle restrizioni e vedere come si comportano.
Intendi Weierstrass? Comunque per la questione dell'estremo superiore ed inferiore non capisco
Raggio $sqrt(x)$?
Ma quale circonferenza ha il raggio che dipende dai propri punti???
Ma quale circonferenza ha il raggio che dipende dai propri punti???
Si hai ragione.
Per quanto riguarda il massimo ed il minimo su $R^2$ forse ho compreso la questione delle restrizioni:
Se si restringe la funzione sulle rette si ha
$$f(x,x) = 2x^3 - x^2 - x^4$$ che tende a -infinito per x grandi. Dunque la funzione ha come $ \text{inf}_{\mathbb{R}^2} = -\infty$
Se si restringe la funzione sulle iperboli equilatere:
$$f(x,\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} + x - 2$$ che tende a +infinito per x grandi. Dunque la funzione ha come $ \text{sup}_{\mathbb{R}^2} = \infty$. Tuttavia non sono molto convinto di questo passaggio perchè magari in altre direzioni la funzione non si comporta cosi. Rimane inoltre la questione della frontiera
Per quanto riguarda il massimo ed il minimo su $R^2$ forse ho compreso la questione delle restrizioni:
Se si restringe la funzione sulle rette si ha
$$f(x,x) = 2x^3 - x^2 - x^4$$ che tende a -infinito per x grandi. Dunque la funzione ha come $ \text{inf}_{\mathbb{R}^2} = -\infty$
Se si restringe la funzione sulle iperboli equilatere:
$$f(x,\frac{1}{x}) = \frac{1}{x} + x - 2$$ che tende a +infinito per x grandi. Dunque la funzione ha come $ \text{sup}_{\mathbb{R}^2} = \infty$. Tuttavia non sono molto convinto di questo passaggio perchè magari in altre direzioni la funzione non si comporta cosi. Rimane inoltre la questione della frontiera
Esatto per le restrizioni e per Weierstrass! Secondo me era questo l'obiettivo dell'esercizio, più farti ragionare sui teoremi che fare conti espliciti. Poi magari mi sbaglio.
Ciao Dracmaleontes,
Qui c'è un errore di battitura, $P_5(1/2, 1/2) $ è un punto di minimo.
Poi per la frontiera basta considerare che $x^2 + y^2 = x \implies y^2 = x - x^2 $ e dato che $z = f(x,y) = xy^2 + x^2y - xy - x^2y^2 = y^2(x - x^2) - y(x - x^2) = y^4 - y^3 = y^3(y - 1) $ che è semplice da studiare.
Comunque così facendo non si trovano soluzioni $x$ reali, quindi l'unico punto di minimo è proprio il punto $P_5(1/2, 1/2) $ appartenente alla frontiera di $D$ che hai già trovato. Nel punto $P_5(1/2, 1/2) $ si ha:
$z(P_5) = f(1/2, 1/2) = 1/2(1/4) + 1/4(1/2) - 1/4 - 1/16 = - 1/16 $
"Dracmaleontes":
[...] e $P_4 $ è un minimo.
Qui c'è un errore di battitura, $P_5(1/2, 1/2) $ è un punto di minimo.
Poi per la frontiera basta considerare che $x^2 + y^2 = x \implies y^2 = x - x^2 $ e dato che $z = f(x,y) = xy^2 + x^2y - xy - x^2y^2 = y^2(x - x^2) - y(x - x^2) = y^4 - y^3 = y^3(y - 1) $ che è semplice da studiare.
Comunque così facendo non si trovano soluzioni $x$ reali, quindi l'unico punto di minimo è proprio il punto $P_5(1/2, 1/2) $ appartenente alla frontiera di $D$ che hai già trovato. Nel punto $P_5(1/2, 1/2) $ si ha:
$z(P_5) = f(1/2, 1/2) = 1/2(1/4) + 1/4(1/2) - 1/4 - 1/16 = - 1/16 $
Ok capito, grazie a tutti
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