Determinare $"inf"$ e $"sup"$ succession
Data la seguente successione:
${n*e^(-n/3)}$
determinarne gli estremi.
Il mio ragionamento è il seguente:
la successione è crescente per $n<=3$ e decrescente per $n>3$.
Perciò per $n<=3$ essendo la successione crescente l'estremo $"sup"$ è: $lim_(n to +oo) n*e^(-n/3)=0$
corretto?
${n*e^(-n/3)}$
determinarne gli estremi.
Il mio ragionamento è il seguente:
la successione è crescente per $n<=3$ e decrescente per $n>3$.
Perciò per $n<=3$ essendo la successione crescente l'estremo $"sup"$ è: $lim_(n to +oo) n*e^(-n/3)=0$
corretto?
Risposte
"mazzy89":
Data la seguente successione:
${n*e^(-n/3)}$
determinarne gli estremi.
Il mio ragionamento è il seguente:
la successione è crescente per $n<=3$ e decrescente per $n>3$.
Perciò per $n<=3$ essendo la successione crescente l'estremo $"sup"$ è: $lim_(n to +oo) n*e^(-n/3)=0$
corretto?
Attento, sai che la successione è crescente per $n<=3$, quindi il $"sup"= "max"$ lo hai per $n=3$ quindi $max {a_n}= 3/e$. Per n>3 la successione è decrescente e quindi il limite per n che tende a più infinito coincide con l'.....
Una domanda, è possibile che il sup di quella successione sia $0$? Attendo tue notizie
"Mathematico":
[quote="mazzy89"]Data la seguente successione:
${n*e^(-n/3)}$
determinarne gli estremi.
Il mio ragionamento è il seguente:
la successione è crescente per $n<=3$ e decrescente per $n>3$.
Perciò per $n<=3$ essendo la successione crescente l'estremo $"sup"$ è: $lim_(n to +oo) n*e^(-n/3)=0$
corretto?
Attento, sai che la successione è crescente per $n<=3$, quindi il $"sup"= "max"$ lo hai per $n=3$ quindi $max {a_n}= 3/e$. Per n>3 la successione è decrescente e quindi il limite per n che tende a più infinito coincide con l'.....
Una domanda, è possibile che il sup di quella successione sia $0$? Attendo tue notizie
[/quote]nel caso della successione decrescente il limite per n che tende a $+oo$ coincide con l'estremo $"inf"$
Riguardo alla seconda domanda credo proprio che il $"sup"$ della successione sia proprio 0 dato che il limite per $n to +oo$ di $a_n$ è 0
"mazzy89":
nel caso della successione decrescente il limite per n che tende a $+oo$ coincide con l'estremo $"inf"$
Esattamente
.
Riguardo alla seconda domanda credo proprio che il $"sup"$ della successione sia proprio 0 dato che il limite per $n to +oo$ di $a_n$ è 0
"mazzy89":
Riguardo alla seconda domanda credo proprio che il $"sup"$ della successione sia proprio 0 dato che il limite per $n to +oo$ di $a_n$ è 0
Per $n=3$ la successione vale $3/e>0$ (abbiamo superato il "sup"?). E poi la successione è "definitivamente decrescente", cioè esiste $N\in NN$ tale che $\forall n>N\quad a_{n+1}
. Spero di essere stato chiaro, non sono molto bravo con le parole 
"Mathematico":
[quote="mazzy89"]Riguardo alla seconda domanda credo proprio che il $"sup"$ della successione sia proprio 0 dato che il limite per $n to +oo$ di $a_n$ è 0
Per $n=3$ la successione vale $3/e>0$ (abbiamo superato il "sup"?). E poi la successione è "definitivamente decrescente", cioè esiste $N\in NN$ tale che $\forall n>N\quad a_{n+1}
. Spero di essere stato chiaro, non sono molto bravo con le parole [/quote]Non mi è molto chiaro. Ricapitolando se non ho capito male il $"sup"$ che coincide con il $"max"$ è $3/e$ mentre l'inf è $0$ corretto?
"mazzy89":
Non mi è molto chiaro. Ricapitolando se non ho capito male il $"sup"$ che coincide con il $"max"$ è $3/e$ mentre l'inf è $0$ corretto?
Sì è esatto, posso chiederti cosa non è chiaro? In qualche modo vorrei rimediare
"Mathematico":
[quote="mazzy89"]
Non mi è molto chiaro. Ricapitolando se non ho capito male il $"sup"$ che coincide con il $"max"$ è $3/e$ mentre l'inf è $0$ corretto?
Sì è esatto, posso chiederti cosa non è chiaro? In qualche modo vorrei rimediare
[/quote]Ti ringrazio molto per l'attenzione. Esattamente non mi è chiaro perchè se per $n<=3$ la successione è crescente per il sup non è il $lim_(n to oo) a_n="sup"{a_n}$
"mazzy89":
Ti ringrazio molto per l'attenzione. Esattamente non mi è chiaro perchè se per $n<=3$ la successione è crescente per il sup non è il $lim_(n to oo) a_n="sup"{a_n}$
Per dire questo, devi avere una successione ${a_n}_n$ crescente per ogni $n$ (oppure "definitivamente crescente"), in tal caso $"sup"{a_n}= lim_{n->\infty} a_n$. la nostra successione non è crescente per ogni $n$ (e nemmeno definitivamente), lo hai detto tu stesso nel primo post.
la successione è crescente per $n<=3$ e decrescente per $n>3$.. Spero sia più chiaro ora
"Mathematico":
[quote="mazzy89"]
Ti ringrazio molto per l'attenzione. Esattamente non mi è chiaro perchè se per $n<=3$ la successione è crescente per il sup non è il $lim_(n to oo) a_n="sup"{a_n}$
Per dire questo, devi avere una successione ${a_n}_n$ crescente per ogni $n$ (oppure "definitivamente crescente"), in tal caso $"sup"{a_n}= lim_{n->\infty} a_n$. la nostra successione non è crescente per ogni $n$ (e nemmeno definitivamente), lo hai detto tu stesso nel primo post.
la successione è crescente per $n<=3$ e decrescente per $n>3$.. Spero sia più chiaro ora
[/quote]Giusto giusto giusto.Non ci avevo pensato.Ti ringrazio tantissimo.grazie anche per l'attenzione.
Attenzione: questo discorso regge perchè la successione è a termini positivi, è una precisazione da fare perchè altrimenti alcuni passaggi logici non valgono. Faccio un esempio:
considera la successione
$a_{n}:=\{(-1 if n=1),(n e^(-n) if n>=2):}$
cosa possiamo dire dell'inf e del sup?
l'$"inf"{a_n}= ...$ mentre il $"sup"{a_n}=...$. Facciamo così, ti prego di ragionare un attimo su questo esercizio e poi mi racconti qualcosina, ok?
considera la successione
$a_{n}:=\{(-1 if n=1),(n e^(-n) if n>=2):}$
cosa possiamo dire dell'inf e del sup?
l'$"inf"{a_n}= ...$ mentre il $"sup"{a_n}=...$. Facciamo così, ti prego di ragionare un attimo su questo esercizio e poi mi racconti qualcosina, ok?
"Mathematico":
Attenzione: questo discorso regge perchè la successione è a termini positivi, è una precisazione da fare perchè altrimenti alcuni passaggi logici non valgono. Faccio un esempio:
considera la successione
$a_{n}:=\{(-1 if n=1),(n e^(-n) if n>=2):}$
cosa possiamo dire dell'inf e del sup?
l'$"inf"{a_n}= ...$ mentre il $"sup"{a_n}=...$. Facciamo così, ti prego di ragionare un attimo su questo esercizio e poi mi racconti qualcosina, ok?
mmm non saprei dire un granchè su questa successione. Magari un input?
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