Determinare prodotto scalare rispetto alla base ortonormale?

[reanto91]

Si consideri il prodotto scalare g in R^2 rispetto al quale B=[v1=(1,1) e v2(1,2)] è una base ortonormale. determinare g(x,x') per ogni x=(x,y) e x'=(x',y')

[bimbozza]

Data la base canonica

[math]e_1=(1,0)[/math]

,

[math]e_2=(0,1)[/math]

possiamo scrivere

[math]x=(x,y)=xe_1+ye_2=x(1,0) + y(0,1)[/math]

Adesso ricaviamoci (1,0) e (0,1) come combinazione lineare dei vettori

[math]v_1[/math]

e

[math]v_2[/math]

[math](1,0)=2v_1-v_2[/math]

[math](0,1)=v_2-v_1[/math]

quindi

[math]x=(x,y)=x(2v_1-v_2)+y(v_2-v_1)=(2x-y)v_1+(y-x)v_2[/math]

e analogamente

[math]x'=(x',y')=(2x'-y')v_1+(y'-x')v_2[/math]

quindi

[math]g(x , x') = g((2x-y)v_1+(y-x)v_2,(2x'-y')v_1+(y'-x')v_2) [/math]

a questo punto non ci resta che fare il prodotto scalare ricordando che

[math]g(v_1,v_1)=g(v_2,v_2)=1[/math]

e

[math]g(v_1,v_2)=g(v_2,v_1)=0[/math]

quindi

[math](2x-y)(2x'-y') + (y-x)(y'-x')=[/math]

[math]4xx'-2xy'-2x'y+yy'+yy'-x'y-xy'+xx'=[/math]

[math]5xx'-3xy'-3x'y+2yy'[/math]