Determinare per quali valori di un parametro reale converge l'integrale improprio

[fenghuang]

Ciao a tutti! avrei lo svolgimento di un esercizio da sottoporvi poichè non sono sicuro di come ho svolto gli sviluppi della funzione integranda al variare del parametro(in generale la presenza di un parametro mi crea qualche problema per determinare gli sviluppi) e quindi volevo sapere se avevate qualche dritta da darmi.

$\int_{0}^{+infty} e^((a^2 -a -2)x) log(1 + e^(-ax)) dx$

determinare per quali valori del parametro $a \in RR$ l'integrale converge.

Prima di tutto, $f(x)$ è definita con continuità su $D= [0,+infty)$ e quindi sono interessato a studiare solo il caso per $ x -> +infty$

Divido il problema in tre casistiche:

$a > 0$

per $ x -> +infty$ vedo che , nonostante $log(1 + e^(-ax) x) -> log(1) = 0$ , non vi è possibilità di convergenza se $(a^2 -a -2) > 0$, poichè per tali valori il fattore $e^(a^2 -a -2)$ va all'infinito con ordine superiore al logaritmo. Perciò deve essere $(a^2 -a -2) <= 0$ per forza, ovvero $a \in [-1,2]$. Poichè sto studiando $a > 0$, si ottiene la condizione $a \in (0, 2]$
In tal caso, per $a \in (0,2)$ dovrei avere il seguente sviluppo asintotico

$f(x) ~ e^((a^2 -a -2)x) e^(-ax) = e^((a^2 -2a -2))$

e quindi l'integrale converge se e solo se $a^2 -2a -2 < 0$ e quindi per ogni $a \in (0,2)$

studiando il caso $a = 2$

$f(x) = log(1 + e^(-2x)) ~ e^(-2x) <= 1/(x^2) $ e quindi l'integrale converge

se $a = 0$

$f(x) = e^(-2x) log(2) <= 1/(x^2) $ e ancora una volta l'integrale converge.

se $a < 0$

come dicevo nel caso $a > 0$ affinchè vi sia convergenza deve essere deve essere $a^2 -a -2 < 0$ e quindi al di fuori dell'intervallo $[-1,0)$ l'integrale diverge sicuramente.

se ora $a \in [-1,0)$.

Cerco di fare uno sviluppo per la mia funzione. In questo caso non sono sicuro di star procedendo nel modo corretto, quindi vi chiedo di correggere eventuali errori o di darmi conferma del procedimento.
Tenuto conto del fatto che $a < 0$ l'argomento del logaritmo va a più infinito, e così anche lo stesso logaritmo. Il fattore esponenziale invece va a 0 almeno come 1/(e^(x)) e quindi io ho pensato di poter fare una cosa del genere

sia $a \in (-1, 0)$

$f(x) = e^((a^2 -a -2)x) log(1 + e^(-ax)) <= 1/(x^2)$

e quindi l'integrale converge. Se invece $a = -1$ si ha

$f(x) = log(1 + e^x)$ e quindi non vi è convergenza.

in definitiva l'integrale dovrebbe convergere solo per $a \in (-1,2]$

Ecco, questo è il mio svolgimento. Penso sia sostanzialmente corretto, ma, come dicevo prima, non sono mai sicuro sugli sviluppi quando vi sono di mezzo i parametri...
Vi ringrazio tutti per l'aiuto