Determinare per quali parametri f è continua e derivabile
Dala la funzione f(x)= $ { ( e^(ax)-b ),( sin(pi -x ):} $ la prima con x minore o uguale a 0 la seconda con x maggiore di 0.
a)determinare per quali a,b la funzioneè continua su tutto R
b) determinare per quali a,b la funzione è derivabile su tutto R
c) la funzione f trovata in b) è iniettiva? è suriettiva?
Ho trovato che f è continua per ogni a e se b=1
Non ho ben capito come determinare per quali a,b la funzione è derivabile, so che bisogna verificare che i limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistano finiti e coincidano ma non so come farlo in questo caso. Qualcuno può aiutarmi? Grazie!
a)determinare per quali a,b la funzioneè continua su tutto R
b) determinare per quali a,b la funzione è derivabile su tutto R
c) la funzione f trovata in b) è iniettiva? è suriettiva?
Ho trovato che f è continua per ogni a e se b=1
Non ho ben capito come determinare per quali a,b la funzione è derivabile, so che bisogna verificare che i limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistano finiti e coincidano ma non so come farlo in questo caso. Qualcuno può aiutarmi? Grazie!
Risposte
Ciao Giakij97,
La funzione proposta è la seguente:
$ f(x) = {(e^{ax} - b \text{ se } x \le 0),(sin(\pi - x) \text{ se } x > 0):}$
a) determinare per quali valori di $a $ e di $b $ la funzione è continua su tutto $ \RR $
Dato che chiaramente il problema è nel punto $x_0 = 0 $, basta applicare la definizione di continuità in tale punto per essere sicuri che poi la funzione è continua su tutto $ \RR $.
Si ha:
$ lim_{x \to x_0^-} f(x) = lim_{x \to 0^-} e^{ax} - b = f(0) = 1 - b = lim_{x \to 0^+} sin(\pi - x) = 0 \implies b = 1 $
come del resto hai già ottenuto. $a$ può assumere qualsiasi valore in $ \RR $
b) determinare per quali valori di $a $ e di $b $ la funzione è derivabile su tutto $ \RR $
Come probabilmente sai, se una funzione è derivabile è anche continua, mentre il viceversa non è vero (controesempio classico: $ y = |x|$). Qui come hai scritto
Per cui deve essere
$ lim_{x \to x_0^-} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = lim_{x \to x_0^+} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $
che nel caso in esame con $b = 1 $ diventa la seguente:
$ lim_{x \to 0^-} frac{e^{ax} - b - 1 + b}{x} = lim_{x \to 0^+} frac{sin(\pi - x)}{x} = lim_{x \to 0^+} frac{sin(x)}{x} = 1 $
Quindi si ha:
$ lim_{x \to 0^-} frac{e^{ax} - 1}{x} = 1 \implies a \cdot lim_{x \to 0^-} frac{e^{ax} - 1}{ax} = 1 \implies a = 1 $
Dunque in definitiva per $a = b = 1 $ la funzione proposta diventa la seguente:
$ f(x) = {(e^{x} - 1 \text{ se } x \le 0),(sin(\pi - x) \text{ se } x > 0):} = {(e^{x} - 1 \text{ se } x \le 0),(sin x \text{ se } x > 0):} $
Il grafico di quest'ultima funzione dovrebbe esserti noto e consentirti di rispondere autonomamente al punto c).
La funzione proposta è la seguente:
$ f(x) = {(e^{ax} - b \text{ se } x \le 0),(sin(\pi - x) \text{ se } x > 0):}$
a) determinare per quali valori di $a $ e di $b $ la funzione è continua su tutto $ \RR $
Dato che chiaramente il problema è nel punto $x_0 = 0 $, basta applicare la definizione di continuità in tale punto per essere sicuri che poi la funzione è continua su tutto $ \RR $.
Si ha:
$ lim_{x \to x_0^-} f(x) = lim_{x \to 0^-} e^{ax} - b = f(0) = 1 - b = lim_{x \to 0^+} sin(\pi - x) = 0 \implies b = 1 $
come del resto hai già ottenuto. $a$ può assumere qualsiasi valore in $ \RR $
b) determinare per quali valori di $a $ e di $b $ la funzione è derivabile su tutto $ \RR $
Come probabilmente sai, se una funzione è derivabile è anche continua, mentre il viceversa non è vero (controesempio classico: $ y = |x|$). Qui come hai scritto
"Giakij97":
bisogna verificare che i limiti sinistro e destro del rapporto incrementale esistano finiti e coincidano
Per cui deve essere
$ lim_{x \to x_0^-} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = lim_{x \to x_0^+} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $
che nel caso in esame con $b = 1 $ diventa la seguente:
$ lim_{x \to 0^-} frac{e^{ax} - b - 1 + b}{x} = lim_{x \to 0^+} frac{sin(\pi - x)}{x} = lim_{x \to 0^+} frac{sin(x)}{x} = 1 $
Quindi si ha:
$ lim_{x \to 0^-} frac{e^{ax} - 1}{x} = 1 \implies a \cdot lim_{x \to 0^-} frac{e^{ax} - 1}{ax} = 1 \implies a = 1 $
Dunque in definitiva per $a = b = 1 $ la funzione proposta diventa la seguente:
$ f(x) = {(e^{x} - 1 \text{ se } x \le 0),(sin(\pi - x) \text{ se } x > 0):} = {(e^{x} - 1 \text{ se } x \le 0),(sin x \text{ se } x > 0):} $
Il grafico di quest'ultima funzione dovrebbe esserti noto e consentirti di rispondere autonomamente al punto c).
Grazie mille per il tuo aiuto
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