Determinare ordini di infinitesimo di due funzioni

[Frostman]

Buongiorno, avrei bisogno di una mano nel determinare l'ordine di infinitesimo di queste due funzioni:
$ f(x)=1/2sin^2x+log(1+x)-x $
$ g(x)=e-(1+x)^((x+2)/(2x)) $

Entrambi rispetto al campione standard. Per prima cosa calcolo il limite per x tendente a zero:

$ lim_(x -> 0) (1/2sin^2x+log(1+x)-x)/x^alpha $

Ho pensato di usare l'o-piccolo visto che non mi è possibile usare gli asintotici.

$ lim_(x -> 0) (1/2x^2 + o(x^2) + x+o(x) -x)/x^alpha $

Ottenendo zero, dato che $ x^2 $ è un o-piccolo di x.

A questo punto ho provato a sviluppare ogni funzione con Taylor fino al quarto grado ottenendo questo sviluppo:

$ lim_(x -> 0) (1/2(x^2-1/3x^4+o(x^4))+x-x^2/2+x^3/3+x^4/4+o(x^4)-x)/x^alpha $

Svolgendo i calcoli sono arrivato a:

$ lim_(x -> 0) (-1/12x^4+1/3x^3+o(x^4))/x^alpha $

Analogamente per la funzione $ g(x) $, qualcuno saprebbe indicarmi dove sbaglio?
Grazie per l'attenzione!

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda $f(x)$:

$1/2sin^2x+log(1+x)-x=1/2[x+o(x^2)]^2+x-1/2x^2+1/3x^3+o(x^3)-x=$

$=1/2x^2+o(x^4)+x-1/2x^2+1/3x^3+o(x^3)-x=1/3x^3+o(x^3)$

Per quanto riguarda $g(x)$:

$e-(1+x)^((x+2)/(2x))=e-e^((1/2+1/x)ln(1+x))=e-e^((1/2+1/x)[x-1/2x^2+1/3x^3+o(x^3)])=e-e^[1+1/12x^2+o(x^2)]=$

$=e[1-e^(1/12x^2+o(x^2))]=e[1-1-1/12x^2+o(x^2)]=-e/12x^2+o(x^2)$