Determinare ordine di infinitesimo di $f(x) = e^{x^2} - \sqrt(1-2sen^2 x)$

[lucabro1]

Inteso per $x\to0$

Il mio tentativo è stato questo:

$\lim_{x\to0} e^{x^2} - \sqrt(1-2sen^2 x) = $
$= \lim_{x\to0} e^{x^2} - \sqrt(1-2\frac{sen^2 x}{x^2}x^2) = $

si ha che $\lim_{x\to0} \frac{sen^2 x}{x^2} = 1$ quindi

$= \lim_{x\to0} e^{x^2} - \sqrt(1-2x^2) = $

applicando lo sviluppo $(1+t)^\alpha = 1 + 1\alphat + o(t)$ con $t=-2x^2$ si ha:

$= \lim_{x\to0} e^{x^2} - (1-x^2+o(-2x^2)) = $

che applicando lo sviluppo di $e^t = 1 + t +o(x)$ con $t=x^2$ e togliendo la parentesi, porta a:

$= \lim_{x\to0} 1+x^2+o(x^2) - 1+x^2-o(-2x^2)) = $
$= \lim_{x\to0} 2x^2+o(x^2) - \frac{o(x^2)}{2} = $
$= \lim_{x\to0} x^2(2 + \frac{o(x^2)}{x^2})$

quindi grado di infinitesimo 2

è corretto? non sapevo bene come gestire l'o piccolo $o(-2x^2)$, ma pensando alla definizione che dice:

$f(x) = o(g(x))$ se $\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$

quindi se $f(x) = o(-\epsilon g(x))$ vorrebbe dire $\lim_{x\to0} \frac{f(x)}{-\epsilon g(x)} = \lim_{x\to0} -\frac{f(x)}{\epsilon g(x)} = \lim_{x\to0} -\frac{1}{\epsilon}\frac{o(g(x))}{g(x)}$ quindi $f(x) = o(-\epsilon g(x)) = - \frac{o(g(x))}{\epsilon}$ ed essendo $\frac{1}{\epsilon}$ una costante è possibile eliminarla, è una baggianata o ho pensato giusto?

Poi avevo un'altra domanda slegata dall'esercizio ma che posto qui per evitare di aprire altri thread:

se ho un $o(ax^2 + bx^6 + cx^4 + o(x^4))$ per esempio, è giusto porre tutto uguale a $o(x^2)$? In linea generale come dovrei comportarmi se dentro ad un o piccolo compaiono polinomi?

Grazie per ogni suggerimento

[Obidream]

Il risultato è giusto, però devi vederti l'algebra degli o-piccolo eh
Praticamente $o(-2x^2)=o(x^2)$, per questa proprietà: https://www.matematicamente.it/forum/vie ... 63#p361972

[lucabro1]

Grazie, proprio la proprietà che mi mancava

Ma il ragionamento che ho fatto io sulla funzione per una costante è errato? Hai mica un suggerimento anche per l'ultima domanda?