Determinare numero soluzioni reali
Buonasera, preparandomi per l'esame di Analisi 1 mi sono imbattuto in questo esercizio e, anche se semplice, vorrei capire bene come risolvere, grazie mille!
Determinare il numero di soluzioni reali dell’equazione x^8−x+a = 0 in funzione
del parametro a reale.
Determinare il numero di soluzioni reali dell’equazione x^8−x+a = 0 in funzione
del parametro a reale.
Risposte
Ciao, cosa hai provato a fare? Un primo tentativo è definire $f_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ponendo $f_a(x)=x^8-x+a$ e studiare la funzione $f_a$ pensando $a\in\mathbb{R}$ come parametro.
"Mephlip":
Ciao, cosa hai provato a fare? Un primo tentativo è definire $f_a:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ponendo $f_a(x)=x^8-x+a$ e studiare la funzione $f_a$ pensando $a\in\mathbb{R}$ come parametro.
Ciao e grazie per la risposta,
il mio problema è che non saprei proprio come procede
Prego! Un metodo te l'ho proposto, che è quello di studiare la funzione $f_a$. Quali sono le informazioni importanti che puoi dedurre da uno studio di funzione? Prova a fare qualche conto e vedrai che piano piano qualcosa esce.
"Mephlip":
Prego! Un metodo te l'ho proposto, che è quello di studiare la funzione $f_a$. Quali sono le informazioni importanti che puoi dedurre da uno studio di funzione? Prova a fare qualche conto e vedrai che piano piano qualcosa esce.
Posso dedurre l'intervallo di validità della funzione, vedere dove cresce o decresce, se ha minimi o massimo, tracciare un grafico qualitativo
Sì, appunto. Tipo, se la funzione ha un minimo assoluto $m$ allora $f_a(x) \ge m^8-m+a$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ e quindi per $a > -m^8+m$ non esistono soluzioni reali. Puoi effettuare ragionamenti simili.
"Mephlip":
Sì, appunto. Tipo, se la funzione ha un minimo assoluto $m$ allora $f_a(x) \ge m^8-m+a$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ e quindi per $a > -m^8+m$ non esistono soluzioni reali. Puoi effettuare ragionamenti simili.
Ma in questa maniera io trovo gli intervalli di soluzioni reali, non il numero di soluzioni reali. O no?
No, stai confondendo gli intervalli in cui varia $a$ con quelli in cui varia $x$. Al variare di $a$ in alcuni sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ (non necessariamente intervalli), si determina il numero di soluzioni $x$ dell'equazione nei singoli sottoinsiemi fino a coprire tutti i casi possibili di $a\in\mathbb{R}$. In questo caso, al variare di $a$ nell'intervallo $(-m^8+m,+\infty)$ ci sono $0$ soluzioni reali perché in tale intervallo la funzione $f_a$ è strettamente positiva per ogni $x\in\mathbb{R}$. Come vedi, questo ti determina il numero delle soluzioni per certi valori di $a$.
Ciao Giancaf,
Secondo me in questi casi dove ti viene richiesto solo il numero delle soluzioni reali conviene fare come si faceva una volta al Liceo scientifico, cioè graficamente:
${(y = x^8 - x =x(x^7 - 1)),(y = - a):}$
La prima è una funzione che si studia abbastanza facilmente, la seconda rappresenta un fascio di rette orizzontali che al variare di $a$ interseca o meno la funzione $y = f(x) = x^8 - x =x(x^7 - 1) $
Se non ho fatto male i conti, dovresti trovare:
0) nessuna soluzione per $- a < f(1/2^{3/7}) = - 7/(8 \cdot 2^{3/7}) \iff a > 7/(8 \cdot 2^{3/7}) $
1) due soluzioni reali coincidenti per $a = 7/(8 \cdot 2^{3/7}) $
2) due soluzioni reali per $a < 7/(8 \cdot 2^{3/7}) $
Secondo me in questi casi dove ti viene richiesto solo il numero delle soluzioni reali conviene fare come si faceva una volta al Liceo scientifico, cioè graficamente:
${(y = x^8 - x =x(x^7 - 1)),(y = - a):}$
La prima è una funzione che si studia abbastanza facilmente, la seconda rappresenta un fascio di rette orizzontali che al variare di $a$ interseca o meno la funzione $y = f(x) = x^8 - x =x(x^7 - 1) $
Se non ho fatto male i conti, dovresti trovare:
0) nessuna soluzione per $- a < f(1/2^{3/7}) = - 7/(8 \cdot 2^{3/7}) \iff a > 7/(8 \cdot 2^{3/7}) $
1) due soluzioni reali coincidenti per $a = 7/(8 \cdot 2^{3/7}) $
2) due soluzioni reali per $a < 7/(8 \cdot 2^{3/7}) $
Volendo procedere con lo studio di funzione come proposto da Mephlip (metodo che personalmente preferisco perchè si presta maggiormente ad essere generalizzato), facendo la derivata si trova che la funzione ha un estremo relativo per $m=1/root(7) (8)$.
Poichè la funzione è strettamente decrescente per x m, tale punto è di minimo relativo e assoluto. Per x=m la funzione vale:
$f(m) = - 7/(8*root(7) (8))+ a$
A questo punto è immediato ritrovare la stessa soluzione di pilloeffe.
Giancaf: adesso hai ben 2 metodi con i quali lavorare
Poichè la funzione è strettamente decrescente per x
$f(m) = - 7/(8*root(7) (8))+ a$
A questo punto è immediato ritrovare la stessa soluzione di pilloeffe.
Giancaf: adesso hai ben 2 metodi con i quali lavorare
Grazie mille a tutti per l'aiuto!
"Giancaf":
[quote="Mephlip"]Sì, appunto. Tipo, se la funzione ha un minimo assoluto $m$ allora $f_a(x) \ge m^8-m+a$ per ogni $x\in\mathbb{R}$ e quindi per $a > -m^8+m$ non esistono soluzioni reali. Puoi effettuare ragionamenti simili.
Ma in questa maniera io trovo gli intervalli di soluzioni reali, non il numero di soluzioni reali. O no?[/quote]
Cosa trovi lo capisci mentre fai i conti, non per forza ragionando in astratto.
Comincia a sporcarti le mani col problema, senza preoccuparti troppo di avere un metodo per risolverlo.
Mentre fai, domandati se le informazioni che vai ricavando ti servono a risolvere il tuo problema e, se non ti servono, chiediti cosa può essere utile ma che ancora non conosci.
Insomma, comincia.
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