Determinare numero soluzioni in un intervallo.
Ciao a tutti sono nuovo qua, spero di non commettere errori nel postare, in caso contrario non uccidetemi 
L'esercizio di un esame mi chiede di calcolare il numero delle soluzioni nell'intervallo chiuso [0,1] di quest integrale:
$ int_(1)^(x) (3t) / (3+t) dt = -x $
Io procedo cosi,
$ f'(x)= 3^(x)/(3+x) > 0 $ La quale è maggiore di 0 per ogni x appartente a [0,1) Quindi la funzione è crescente in [0,1).
Ora cosa dovrei fare? Qualsiasi aiuto è ben accetto, sono nel panico
L'esercizio di un esame mi chiede di calcolare il numero delle soluzioni nell'intervallo chiuso [0,1] di quest integrale:
$ int_(1)^(x) (3t) / (3+t) dt = -x $
Io procedo cosi,
$ f'(x)= 3^(x)/(3+x) > 0 $ La quale è maggiore di 0 per ogni x appartente a [0,1) Quindi la funzione è crescente in [0,1).
Ora cosa dovrei fare? Qualsiasi aiuto è ben accetto, sono nel panico
Risposte
La funzione di cui devi calcolare il numero di zeri è $ f(x)=int_1^x(3t)/(3+t)dt+x $ , quindi $ f'(x)=(3x)/(3+x)+1 $ ed è questa la funzione di cui devi studiare il segno per dedurre crescenza e decrescenza di $ f $ in $ [0;1] $ .
"Pierlu11":
La funzione di cui devi calcolare il numero di zeri è $ f(x)=int_1^x(3t)/(3+t)dt+x $ , quindi $ f'(x)=(3x)/(3+x)+1 $ ed è questa la funzione di cui devi studiare il segno per dedurre crescenza e decrescenza di $ f $ in $ [0;1] $ .
Scusa perchè hai scritto +1 ?
Perché come ho detto la funzione da studiare è $f(x)=int_1^x(3t)/(3+t)dt+x$ ...
Le soluzioni di $f(x)=-x$ sono le stesse di $ g(x)=f(x)+x=0 $
Il risultato che devi usare è il teorema degli zeri, la funzione è continua su $ [0,1] $ quindi suddividi l'intervallo in pezzi in cui è monotona, guardando la derivata come ti è stato indicato, la valuti agli estremi di ogni intervallino di monotonia e se cambia segno sai che hai una soluzione (che è unica in tale intervallino essendo la funzione continua e monotona), altrimenti non hai soluzioni nel dato intervallo, ripeti per tutti gli intervalli e ottieni il totale delle soluzioni.
In questo caso specifico mi pare sia strettamente crescente in tutto l'intervallo ed essendo $ f(1)=1 $ e $ f(0)=-int_0^1 (3t)/(3+t)dt<0 $ (integrale di funzione positiva, orientato positivamente) concludi che ha una sola soluzione.
Il risultato che devi usare è il teorema degli zeri, la funzione è continua su $ [0,1] $ quindi suddividi l'intervallo in pezzi in cui è monotona, guardando la derivata come ti è stato indicato, la valuti agli estremi di ogni intervallino di monotonia e se cambia segno sai che hai una soluzione (che è unica in tale intervallino essendo la funzione continua e monotona), altrimenti non hai soluzioni nel dato intervallo, ripeti per tutti gli intervalli e ottieni il totale delle soluzioni.
In questo caso specifico mi pare sia strettamente crescente in tutto l'intervallo ed essendo $ f(1)=1 $ e $ f(0)=-int_0^1 (3t)/(3+t)dt<0 $ (integrale di funzione positiva, orientato positivamente) concludi che ha una sola soluzione.
Mmmh, provo a vedere se ho capito bene(scusate ma questo teorema non mi entra in testa).
Allora, studio il comportamento della funzione agli estremi e vedo che i risultati sono di segno opposto quindi il teorema sull'esistenza degli zeri è applicabile. Dopo di che vedo che la funzione di partenza è monotona crescente nell'intervallo preso in considerazione e da ciò deduco che essa avrà solo uno zero. Giusto ?
Allora, studio il comportamento della funzione agli estremi e vedo che i risultati sono di segno opposto quindi il teorema sull'esistenza degli zeri è applicabile. Dopo di che vedo che la funzione di partenza è monotona crescente nell'intervallo preso in considerazione e da ciò deduco che essa avrà solo uno zero. Giusto ?
Si, il teorema è molto intuitivo invece, prova a disegnare una linea continua che cambia segno agli estremi di un intervallo e scopri che passi per forza per lo zero almeno una volta, se poi la funzione è monotona ci passi una sola volta.
"luc.mm":
Si, il teorema è molto intuitivo invece, prova a disegnare una linea continua che cambia segno agli estremi di un intervallo e scopri che passi per forza per lo zero almeno una volta, se poi la funzione è monotona ci passi una sola volta.
Ok e questo l'ho capito haha
Gli esercizi nei quali la funzione è lineare e mi chiede di trovare le soluzioni li riesco a risolvere tranquillamente, ho problemi in esercizi di questo tipo dove ci sono gli integrali. Gli estremi dell'intervallo cosa ci devo fare? Li sostituisco nell'integrale e vedo che sono di segno opposto e quindi posso applicare il teorema degli zeri ?
Quella è una funzione integrale di variabile $ x $ per cui valutarla significa calcolare l'integrale tra gli estremi indicati.
Se hai dubbi calcolati l'integrale così la trasformi in una funzione normale. Vale $ 3[(x-3log(x+3)-1+3log(4)] $
Se hai dubbi calcolati l'integrale così la trasformi in una funzione normale. Vale $ 3[(x-3log(x+3)-1+3log(4)] $
"luc.mm":
Le soluzioni di $f(x)=-x$ sono le stesse di $ g(x)=f(x)+x=0 $
Il risultato che devi usare è il teorema degli zeri, la funzione è continua su $ [0,1] $ quindi suddividi l'intervallo in pezzi in cui è monotona, guardando la derivata come ti è stato indicato, la valuti agli estremi di ogni intervallino di monotonia e se cambia segno sai che hai una soluzione (che è unica in tale intervallino essendo la funzione continua e monotona), altrimenti non hai soluzioni nel dato intervallo, ripeti per tutti gli intervalli e ottieni il totale delle soluzioni.
In questo caso specifico mi pare sia strettamente crescente in tutto l'intervallo ed essendo $ f(1)=1 $ e $ f(0)=-int_0^1 (3t)/(3+t)dt<0 $ (integrale di funzione positiva, orientato positivamente) concludi che ha una sola soluzione.
Tutto chiaro,ma ho un dubbio: se sia $ f(1) $ che $ f(0) $ mi fossero venute positive e sapevo che la funzione era monotona crescente, quante soluzioni si avevano ?
Non ti rispondo, ma ti dico, fai il disegno e lo capisci immediatamente, la linea è continua quindi non puoi staccare la penna dal foglio, riesci a passare per lo zero e a mantenere la funzione monotona crescente in quel caso?
Prendi i punti $ (0,1) $ e $(1,1+-1/2) $ e traccia una linea continua che li unisce e monotona.
Prendi i punti $ (0,1) $ e $(1,1+-1/2) $ e traccia una linea continua che li unisce e monotona.
Tutto chiaro mica tanto ... 
Te lo ha scritto due righe sopra ...
Te lo ha scritto due righe sopra ...
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