Determinare n t.c. il limite sia diverso da 0
Ecco l'esercizio:
Determinare n t.c. il limite sia diverso da 0
$lim x->0+ (log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2) -x^2 -(1/2)x^4)/(x^n)$
Io avevo pensato di fare gli sviluppo di MacLaurin di $log(1+x+x^2)$ e $log(1-x+x^2)$, andarli a sostituire nel limite e vedere quale potenza di n rimane nella differenza al numeratore. In questo modo
$y=x+x^2$
$log(1+y)= y-y^2/2+y^3/3+o(y^3)$
quindi fermandomi al 2° ordine
$log(1+x+x^2)= x+x^2-(1/2)(x+x^2)^2$
stessa cosa per
$y=-x+x^2$
$log(1+x+x^2)= -x+x^2-(1/2)(-x+x^2)^2$
andando a sostituire nel limite e facendo un po di calcoli ottengo:
$lim x->0+ ((-3/2)x^4+o(x^4))/(x^n)$
quindi sceglierei n=4, ma la soluzione invece è n=6!!(Quindi anche x^4 dovrebbe annullarsi, invece a me rimane nel numeratore!!!)
Dove ho sbagliato ragazzi?
Determinare n t.c. il limite sia diverso da 0
$lim x->0+ (log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2) -x^2 -(1/2)x^4)/(x^n)$
Io avevo pensato di fare gli sviluppo di MacLaurin di $log(1+x+x^2)$ e $log(1-x+x^2)$, andarli a sostituire nel limite e vedere quale potenza di n rimane nella differenza al numeratore. In questo modo
$y=x+x^2$
$log(1+y)= y-y^2/2+y^3/3+o(y^3)$
quindi fermandomi al 2° ordine
$log(1+x+x^2)= x+x^2-(1/2)(x+x^2)^2$
stessa cosa per
$y=-x+x^2$
$log(1+x+x^2)= -x+x^2-(1/2)(-x+x^2)^2$
andando a sostituire nel limite e facendo un po di calcoli ottengo:
$lim x->0+ ((-3/2)x^4+o(x^4))/(x^n)$
quindi sceglierei n=4, ma la soluzione invece è n=6!!(Quindi anche x^4 dovrebbe annullarsi, invece a me rimane nel numeratore!!!)
Dove ho sbagliato ragazzi?
Risposte
Sono quasi sicuro del fatto che sono sbaglati gli sviluppi di McLaurin. Ho utilizzato quello di $log(1+y)$ e ho fatto una sostituzione.
Sì, per come li hai scritti sono sbagliati. Lo sviluppo del logaritmo è questo: $log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3 + ... + (-1)^(n+1)x^n/n+o(x^n)$
Tuttavia, ho controllato con il computer e il risultato $n=6$ è quello corretto.
Eppure non capisco come farlo venire, anche a me resta un termine in $x^4$ a numeratore... si vede che stiamo sbagliando i conti da qualche parte...
Tuttavia, ho controllato con il computer e il risultato $n=6$ è quello corretto.
Eppure non capisco come farlo venire, anche a me resta un termine in $x^4$ a numeratore... si vede che stiamo sbagliando i conti da qualche parte...
E' venuto usando le proprietà dei logaritmi:
$lim_(x->0+) (log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2) -x^2 -(1/2)x^4)/(x^n)=$
$=lim_(x->0+) (log((1+x+x^2)(1-x+x^2)) -x^2 -(1/2)x^4)/(x^n)$
Devi calcolare il prodotto (notevole) $(1+x^2-x)(1+x^2+x)$; ti resta quindi $log(1+ " qualcosa ")$. Sviluppi questo con MacLaurin e ti viene tutto.
Certo, devo ancora capire dove sbagliavamo prima...
P.S. Anche se hai editato il messaggio, lo sviluppo di $log(1+y)$ continua ad essere errato per come lo hai scritto: mancano gli esponenti...
$lim_(x->0+) (log(1+x+x^2)+log(1-x+x^2) -x^2 -(1/2)x^4)/(x^n)=$
$=lim_(x->0+) (log((1+x+x^2)(1-x+x^2)) -x^2 -(1/2)x^4)/(x^n)$
Devi calcolare il prodotto (notevole) $(1+x^2-x)(1+x^2+x)$; ti resta quindi $log(1+ " qualcosa ")$. Sviluppi questo con MacLaurin e ti viene tutto.
Certo, devo ancora capire dove sbagliavamo prima...
P.S. Anche se hai editato il messaggio, lo sviluppo di $log(1+y)$ continua ad essere errato per come lo hai scritto: mancano gli esponenti...
si hai ragione mi manca l'esponenete a $y/2$ che deve essere al quadrato $y^2/2$. Ma il ragionamento della mia sostituzione secondo te può essere sbagliato? ovvero quella di andare a sostituire $y$ con $x+x^2$ e successivamente con $-x+x^2$
Ho capito l'errore: non basta sviluppare al secondo ordine nella forma additiva (invece se moltiplichi il grado dei polinomi aumenta, quindi ti puoi fermare prima con lo sviluppo).
Infatti, il resto (nella forma di Peano) dello sviluppo di $log(1+x^2+x)$ è $o(x+x^2)=o(x+o(x))$ che per la proprietà dell'o-piccolo, è $o(x)$ e quindi ti "mangia" tutti gli altri termini... in poche parole, occorre sviluppare al terzo ordine, e quello dovrebbe bastare.
Infatti, il resto (nella forma di Peano) dello sviluppo di $log(1+x^2+x)$ è $o(x+x^2)=o(x+o(x))$ che per la proprietà dell'o-piccolo, è $o(x)$ e quindi ti "mangia" tutti gli altri termini... in poche parole, occorre sviluppare al terzo ordine, e quello dovrebbe bastare.
Paolo90 se ho capito bene io ho fatto questo sviluppo di taylor
$log(1+x+x^2)= x+x^2-(1/2)(x^2+2x^3+x^4)+o(x^2+2x^3+x^4)$
siccome ho il resto di Peano $o(x^2+2x^3+x^4)$ allora si cancellano tutti i termini di ordine superiore o uguale a $x^2$ e di conseguenza rimane solamente $x$.
Giusto?!
$log(1+x+x^2)= x+x^2-(1/2)(x^2+2x^3+x^4)+o(x^2+2x^3+x^4)$
siccome ho il resto di Peano $o(x^2+2x^3+x^4)$ allora si cancellano tutti i termini di ordine superiore o uguale a $x^2$ e di conseguenza rimane solamente $x$.
Giusto?!
"cestra":
Paolo90 se ho capito bene io ho fatto questo sviluppo di taylor
$log(1+x+x^2)= x+x^2-(1/2)(x^2+2x^3+x^4)+o(x^2+2x^3+x^4)$
siccome ho il resto di Peano $o(x^2+2x^3+x^4)$ allora si cancellano tutti i termini di ordine superiore o uguale a $x^2$ e di conseguenza rimane solamente $x$.
Giusto?!
No.
$o(x^2+2x^3+x^4) = o(x^2)$
il quale "inghiotte" tutti i termini di ordine superiore all'ordine di $x^2$.
$x^2$ rimane.
e perchè il primo termine $x$ viene "mangiato" se è di ordine inferio rispetto a $x^2$?
se non erro dovrebbe rimanere
$x+(1/2)x^2$
$x+(1/2)x^2$
"cestra":
se non erro dovrebbe rimanere
$x+(1/2)x^2$
E' sbagliato.
Lo sviluppo di McLaurin, fino al sest'ordine, del numeratore è:
$f(x) = P_6(x) + o(x^6)$
Puoi vedere facilmente che, per $1 <= n <= 5$ ($ n in NN$), $P_n(x) = 0$; quindi $f(x) = o(x^n)$ - ti renderai conto che questa informazione sulla $f$ non serve agli scopi dell'esercizio. In $P_6(x)$ compare il termine di sesto grado, il quale non si elide con altri termini e ti permette di concludere l'esercizio.
ho capito che doveva essere sviluppato fino all'ordine 6. volevo solamente sapere se era giusto lo sviluppo $x+(1/2)x^2+o(x^2)$ fino all'ordine 2
Se scrivi i passaggi che hai fatto, passo per passo, è meglio. Così vediamo dove sbagli.
$log(1+x+x^2)= x+x^2-(1/2)(x^2+2x^3+x^4)+o(x^2+2x^3+x^4)$
ovvero
$x+(1/2)x^2+o(x^2)$
ovvero
$x+(1/2)x^2+o(x^2)$
"cestra":
ho capito che doveva essere sviluppato fino all'ordine 6. volevo solamente sapere se era giusto lo sviluppo $x+(1/2)x^2+o(x^2)$ fino all'ordine 2
Questo significa che non hai capito bene quanto ho scritto sopra...
Lo sviluppo è:
$f_1(x) = o(x)$
$f_2(x) = o(x^2)$
$f_3(x) = o(x^3)$
$f_4(x) = o(x^4)$
$f_5(x) = o(x^5)$
$f_6(x) = a*x^6 + o(x^6)$
Quindi, se il numeratore deve essere un infinitesimo dello stesso ordine di $x^6$, è necessariamente sbagliato il tuo sviluppo. Ma, logicamente, non puoi sapere a priori che si tratta di un infinitesimo siffatto. Lo scopri espandendo gli sviluppi di McLaurin. Naturalmente, fino al quint'ordine, i termini degli sviluppi si elideranno lasciandoti con un palmo... "di o-piccolo".
Seneca scusami ma non capisco perchè dal grado 1 al grado 5 si elidono tutti i termini e rimangono solamente gli o(x^n). Postresti svilupparmene almeno uno?!
"cestra":
$log(1+x+x^2)= x+x^2-(1/2)(x^2+2x^3+x^4)+o(x^2+2x^3+x^4)$
ovvero
$x+(1/2)x^2+o(x^2)$
Io intendevo tutto il numeratore.
$log(1+x+x^2) = x + x^2/2 - x^3 - x^4/2 + o (x^2)$
$log(1+x+x^2) = x + x^2/2 + o(x^2)$
Sì, è giusto...
Ora prova a sviluppate anche l'altro logaritmo a numeratore e a fare un po' di conti. Cosa ti rimane?
"cestra":
Seneca scusami ma non capisco perchè dal grado 1 al grado 5 si elidono tutti i termini e rimangono solamente gli o(x^n).
Perchè la funzione è un infinitesimo di ordine sei.
HO capito! Tu intendevi tutto il numeratore con gli o(x^n)!! Grazie mille ragazzi diciamo che mi avete aiutato molto! Grazie di cuore!
"cestra":
Seneca scusami ma non capisco perchè dal grado 1 al grado 5 si elidono tutti i termini e rimangono solamente gli o(x^n). Postresti svilupparmene almeno uno?!
Nel discorso che facevo io, $f(x)$ è tutto il NUMERATORE.
Se tu espandi con McLaurin i due logaritmi (fino al quart'ordine) e sommi gli sviluppi, ottieni:
$log(1+x+x^2) + log( 1 - x + x^2 ) = log[(1+x+x^2)*(1 - x + x^2 )] = x^2 + 1/2 x^4 + o(x^4)$
Se, al numeratore, sostituisci gli sviluppi, ottieni:
$( x^2 + 1/2 x^4 + o(x^4) - x^2 - 1/2 x^4 )$
Non è chi non veda che rimane solo $o(x^4)$, che non è sufficiente a determinare con precisione l'ordine di infinitesimo del numeratore.
ok ok... una piccola incomprensione risolta! Grazie raga!
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