Determinare l'unicità della soluzione di un eq differenziale
Ciao a tutti, avrei bisogno di alcune delucidazioni per quanto riguarda l'unicità della soluzione dei problemi di cauchy.
Mi é capitato che mi venisse chiesto di determinare se per certi valori di $x_0$ e di $y_0$ della condizione iniziale di un problema ($y(x_0) = y_0$) la soluzione é unica, ma non ho mai capito bene come procedere... Vi faccio un esempio che é meglio: ho $\{y'(x)=-y(x)ln|x|+ln(x^2+x) ; y(x_0) = y_0 }$ mi si chiede di determinare l'esistenza e l'unicità della soluzione al variare di $x_0$ e $y_0$.
Penso che intanto $x_0$ e $y_0$ debbano appartenere al campo di esistenza delle due funzioni in $x$, ma poi boh, anche dal punto di vista teorico non mi é chiarissimo cosa significhi, ma dal mio libro non capisco bene, vi chiedo se potete illuminarmi
Mi é capitato che mi venisse chiesto di determinare se per certi valori di $x_0$ e di $y_0$ della condizione iniziale di un problema ($y(x_0) = y_0$) la soluzione é unica, ma non ho mai capito bene come procedere... Vi faccio un esempio che é meglio: ho $\{y'(x)=-y(x)ln|x|+ln(x^2+x) ; y(x_0) = y_0 }$ mi si chiede di determinare l'esistenza e l'unicità della soluzione al variare di $x_0$ e $y_0$.
Penso che intanto $x_0$ e $y_0$ debbano appartenere al campo di esistenza delle due funzioni in $x$, ma poi boh, anche dal punto di vista teorico non mi é chiarissimo cosa significhi, ma dal mio libro non capisco bene, vi chiedo se potete illuminarmi
Risposte
Quali ipotesi richiede il teorema (di Cauchy-Lipschitz-Picard) di esistenza ed unicità locali?
Ho riguardato un po' e penso di aver capito che in questo caso, per cauchy, se $x_0$ appartiene all'intervallo in cui sono continue $-ln|x|$ e $ln(x^2+x)$ c'é un unica soluzione per qualsiasi $y_0$, ma se così fosse, $y_0$ in quale caso avrebbe delle condizioni? Cioè, una volta che ho visto quali valori puó assumere $x_0$, $y_0$ assume sempre qualunque valore? Io non credo... Faccio un po confusione
La chiave è nel rispondere alla domanda che ti ho posto prima:
"gugo82":
Quali ipotesi richiede il teorema (di Cauchy-Lipschitz-Picard) di esistenza ed unicità locali?
Citando testualmente il mio libro
"TEOREMA DI CAUCHY: date $y'=a(x)y+b(x)$ e $y(x_0)=y_0$, sia $x_0$ un punto di un intervallo dove $a(x)$ e $b(x)$ sono continue. Per ogni numero reale $y_0$ esiste ed è unica la soluzione del problema di cauchy"
da cui consegue quanto ho detto prima se non sbaglio... Questo é tutto ciò che ho tra le mani per rispondere, il mio prof non mi ha mai parlato di lipschitz e picard... Quello che mi chiedo é: questo basta? Se si, esistono casi in cui anche $y_0$ ha delle limitazioni?
"TEOREMA DI CAUCHY: date $y'=a(x)y+b(x)$ e $y(x_0)=y_0$, sia $x_0$ un punto di un intervallo dove $a(x)$ e $b(x)$ sono continue. Per ogni numero reale $y_0$ esiste ed è unica la soluzione del problema di cauchy"
da cui consegue quanto ho detto prima se non sbaglio... Questo é tutto ciò che ho tra le mani per rispondere, il mio prof non mi ha mai parlato di lipschitz e picard... Quello che mi chiedo é: questo basta? Se si, esistono casi in cui anche $y_0$ ha delle limitazioni?
Questo ti basta per rispondere nel caso in esame, ma non in casi generali (poiché infatti il teorema che citi è valido solo per le EDO lineari in forma normale).
Il teorema ti assicura che, se i coefficienti \(a\) e \(b\) della EDO \(y^\prime = a\cdot y + b\) sono continui in un intervallo \(I\subseteq \mathbb{R}\), allora comunque fissi i dati iniziali \((x_0,y_0)\) nella striscia \(I\times \mathbb{R}\) il p.d.C.:
\[
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= a(x)\cdot y(x) + b(x)\\ y(x_0) &= y_0\end{split} \right.
\]
ha unica soluzione definita in tutto \(I\).
Nel tuo caso, dunque, il p.d.C. avrà unica soluzione per ogni punto \((x_0,y_0)\) tale che \(x_0 \in \operatorname{Dom} a \cap \operatorname{Dom} b\), indipendentemente da come scegli \(y_0\in \mathbb{R}\); tale soluzione è definita nell'intervallo più grande contenuto in \(\operatorname{Dom} a \cap \operatorname{Dom} b\) al quale \(x_0\) appartiene.
Il teorema ti assicura che, se i coefficienti \(a\) e \(b\) della EDO \(y^\prime = a\cdot y + b\) sono continui in un intervallo \(I\subseteq \mathbb{R}\), allora comunque fissi i dati iniziali \((x_0,y_0)\) nella striscia \(I\times \mathbb{R}\) il p.d.C.:
\[
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &= a(x)\cdot y(x) + b(x)\\ y(x_0) &= y_0\end{split} \right.
\]
ha unica soluzione definita in tutto \(I\).
Nel tuo caso, dunque, il p.d.C. avrà unica soluzione per ogni punto \((x_0,y_0)\) tale che \(x_0 \in \operatorname{Dom} a \cap \operatorname{Dom} b\), indipendentemente da come scegli \(y_0\in \mathbb{R}\); tale soluzione è definita nell'intervallo più grande contenuto in \(\operatorname{Dom} a \cap \operatorname{Dom} b\) al quale \(x_0\) appartiene.
Il teorema che hai scritto è riferito a questo tipo di equazione differenziale $y'=a(x)y+b(x)$ che è localmente lipschiziana (rispetto alla y e uniformemente alla x) e sublineare rispetto alla $y$. Queste due ipotesi sono sufficienti per dire che la soluzione del PdC di un equazione differenziale ordinaria di primo grado esiste ed è unica globalmente.
Pubblico il post nonostante la risposta di gugo perché ormai lo avevo scritto.
Pubblico il post nonostante la risposta di gugo perché ormai lo avevo scritto.
"dan95":
Il teorema che hai scritto è riferito a questo tipo di equazione differenziale $y'=a(x)y+b(x)$ che è localmente lipschiziana (rispetto alla y e uniformemente alla x) e sublineare rispetto alla $y$. Queste due ipotesi sono sufficienti per dire che la soluzione del PdC di un equazione differenziale ordinaria di primo grado esiste ed è unica globalmente.
Pubblico il post nonostante la risposta di gugo perché ormai lo avevo scritto.
Una piccola riflessione. In questo caso (equazione lineare in forma normale) si può anche evitare il ricorso a teoremi astratti. Infatti il problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
y'=a(x)y+b(x) \\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
\]
si può integrare esplicitamente moltiplicando ambo i membri dell'equazione per $e^{-A(x)}$ con \(A(x)=\int_{x_0}^x A(x')\,dx'\). Se \(a\) e \(b\) sono continue in un intorno (risp. intorno destro, sinistro) di $x_0$ allora la soluzione è data in questo intorno dalla formula
\[\tag{1}
y(x)=e^{A(x)}y_0+\int_{x_0}^x e^{A(x)-A(x')}b(x')\,dx'.\]
La soluzione è anche unica: la dimostrazione mostra che essa non può che coincidere con la (1). Inoltre le ipotesi di continuità su $a$ e $b$ sono naturali perché servono a garantire l'esistenza dei vari integrali da calcolare nel corso della dimostrazione.
Tutto queste sono cose che probabilmente conosci bene. Ma ho voluto fare questo remark per sottolineare che, in ipotesi di linearità, non occorre andare a pescare teoremi astratti. Si può benissimo fare tutto a mano ed è molto meglio, perché alla fine si ottiene anche una bellissima formula esplicita.
"dissonance":
Una piccola riflessione. In questo caso (equazione lineare in forma normale) si può anche evitare il ricorso a teoremi astratti.
Si in effetti ho usato i cannoni (tanto per citare un utente) mentre bastavano le pistole.
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