Determinare lo sviluppo asintotico
Ciao a tutti ragazzi, sono in crisi con questa tipologia di esercizi come questo: "Determinare lo sviluppo asintotico per $x->0$ , dell'espressione $f(x) = (1 + x^2) / (1-x) $, con un resto $o(x^5)$."
Dovrei usare la formula di Taylor, giusto...?
Ho provato a fare qualche passaggio, ma mi servirebbe di capire proprio come devo farli...
Grazie mille a tutti!
Dovrei usare la formula di Taylor, giusto...?
Ho provato a fare qualche passaggio, ma mi servirebbe di capire proprio come devo farli...
Grazie mille a tutti!
Risposte
Certo. Tuttavia lo sviluppo di $1/( 1 - x )$ è uno sviluppo notevole:
$1/( 1 - x ) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + o(x^5)$
Quindi lo sviluppo cercato è $(1 + x^2) * ( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + o(x^5) )$ , procurandosi alla fine di avere un $o(x^5)$.
$1/( 1 - x ) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + o(x^5)$
Quindi lo sviluppo cercato è $(1 + x^2) * ( 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + o(x^5) )$ , procurandosi alla fine di avere un $o(x^5)$.
Grazie mille!
Quindi ora devo fare i calcoli di:
$(1+x^2)(1-x)^-1$, giusto?
Ottengo:
$1+x+2x^2+2x^3+2x^4+2x^5+x^6+x^7+o(x^5)$
Però, $x^6+x^7$ possono essere trascurati, giusto?
Grazie ancora dell'aiuto!!
Quindi ora devo fare i calcoli di:
$(1+x^2)(1-x)^-1$, giusto?
Ottengo:
$1+x+2x^2+2x^3+2x^4+2x^5+x^6+x^7+o(x^5)$
Però, $x^6+x^7$ possono essere trascurati, giusto?
Grazie ancora dell'aiuto!!
"Alecc90":
Però, $x^6+x^7$ possono essere trascurati, giusto?
Se hai fatto il prodotto correttamente sì. Devono essere assorbiti da $o(x^5)$.
Perfetto! grazieee
Un'ultima cosa:
Se, quindi, devo determinare lo sviluppo asintotico di: $(1-2x^2)/(1+x)$
per $x->0$, con resto $O(x^4)$
Devo sviluppare $(1)/(1+x)$, che è uno sviluppo notevole, giusto?
Ottenendo: $1-x+x^2-x^3+O(x^4)$
Poi, quindi, ho: $(1-2x^2)(1-x+x^2-x^3)+O(x^4)$
Facendo i calcoli ottengo: $1-x-x^2+x^3-2x^4+2x^5+O(x^4)$
Però, appunto, $-2x^4+2x^5$ vengono assorbiti in $O(x^4)$, giusto?
grazie ancora per l'aiuto!
Se, quindi, devo determinare lo sviluppo asintotico di: $(1-2x^2)/(1+x)$
per $x->0$, con resto $O(x^4)$
Devo sviluppare $(1)/(1+x)$, che è uno sviluppo notevole, giusto?
Ottenendo: $1-x+x^2-x^3+O(x^4)$
Poi, quindi, ho: $(1-2x^2)(1-x+x^2-x^3)+O(x^4)$
Facendo i calcoli ottengo: $1-x-x^2+x^3-2x^4+2x^5+O(x^4)$
Però, appunto, $-2x^4+2x^5$ vengono assorbiti in $O(x^4)$, giusto?
grazie ancora per l'aiuto!
E invece, quando ho $x->+oo$ non posso utilizzare gli sviluppi di taylor, giusto?
Perché un altro esercizio mi chiede sempre lo sviluppo asintotico, ma di: $(1+x^2)/(1-2x^2+x^3)$, per $x->+oo$,
in potenze di $1/x$ e con un resto di $O(1/x^4)$
Come posso procedere senza taylor..?
Perché un altro esercizio mi chiede sempre lo sviluppo asintotico, ma di: $(1+x^2)/(1-2x^2+x^3)$, per $x->+oo$,
in potenze di $1/x$ e con un resto di $O(1/x^4)$
Come posso procedere senza taylor..?
Sostituisci $x=\frac{1}{t}$ in modo che $t\to 0^+$. Calcola lo sviluppo di Taylor per la nuova funzione dipendente da $t$ e, una volta ottenuto quello con la potenza giusta, sostituisci di nuovo la $t$ con la $x$.
"ciampax":
Sostituisci $x=\frac{1}{t}$ in modo che $t\to 0^+$. Calcola lo sviluppo di Taylor per la nuova funzione dipendente da $t$ e, una volta ottenuto quello con la potenza giusta, sostituisci di nuovo la $t$ con la $x$.
Grazie per la dritta, ma, a questo punto avrei:
$(1+1/t^2)/(1-2/t^2+1/t^3)$
mi verrebbe da dire di fare lo sviluppo di $1+1/t^2$, giusto? Utilizzando la formula $(1+x)^a$, dove $x=1/t^2$ e $a=1$
oppure dovrei procedere in un altro modo?
grazie ancora intanto!!
mi uscirebbe $1+1/t+O(1/t^4)$
Ma poi dovrei moltiplicarlo per il denominatore tutto alla -1 ($D^-1$) e boh...non so se sia la strada giusta....
Ma poi dovrei moltiplicarlo per il denominatore tutto alla -1 ($D^-1$) e boh...non so se sia la strada giusta....
Mi sa che hai frainteso quello che ti dicevo: se applichi la sostituzione che ti ho suggerito ottieni la funzione
[tex]$g(t)=\frac{t(t^2+1)}{t^3-2t+1}=t(t^2+1)\cdot\frac{1}{1+(-2t+t^3)}$[/tex]
Puoi sviluppare questa funzione con le usuali regole note per lo sviluppo di McLaurin in $t=0$ ottenendo uno sviluppo del tipo
[tex]$g(t)=a_o+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3+a_4 t^4+o(t^4)$[/tex]
e a quel punto, ti basta sostituire nuovamente $t=1/x$ per ottenere lo sviluppo richiesto per la funzione originale.
[tex]$g(t)=\frac{t(t^2+1)}{t^3-2t+1}=t(t^2+1)\cdot\frac{1}{1+(-2t+t^3)}$[/tex]
Puoi sviluppare questa funzione con le usuali regole note per lo sviluppo di McLaurin in $t=0$ ottenendo uno sviluppo del tipo
[tex]$g(t)=a_o+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3+a_4 t^4+o(t^4)$[/tex]
e a quel punto, ti basta sostituire nuovamente $t=1/x$ per ottenere lo sviluppo richiesto per la funzione originale.
"ciampax":
Mi sa che hai frainteso quello che ti dicevo: se applichi la sostituzione che ti ho suggerito ottieni la funzione
[tex]$g(t)=\frac{t(t^2+1)}{t^3-2t+1}=t(t^2+1)\cdot\frac{1}{1+(-2t+t^3)}$[/tex]
Puoi sviluppare questa funzione con le usuali regole note per lo sviluppo di McLaurin in $t=0$ ottenendo uno sviluppo del tipo
[tex]$g(t)=a_o+a_1 t+a_2 t^2+a_3 t^3+a_4 t^4+o(t^4)$[/tex]
e a quel punto, ti basta sostituire nuovamente $t=1/x$ per ottenere lo sviluppo richiesto per la funzione originale.
ma la funzione di partenza è $(1+x^2)/(1-2x^2+x^3)$
come fai a ottenere quella cosa li sostituendo a $x= 1/t$ ???
Con la sostituzione la funzione di partenza diventa
[tex]$\frac{1+\frac{1}{t^2}}{1-\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t^3}}=\frac{t^2+1}{t^2}\cdot\frac{t^3}{t^3-2t+1}=\frac{t(t^2+1)}{t^3-2t+1}$[/tex]
Ora che dici? provi a finirlo l'esercizio o vuoi la risoluzione completa?
[tex]$\frac{1+\frac{1}{t^2}}{1-\frac{2}{t^2}+\frac{1}{t^3}}=\frac{t^2+1}{t^2}\cdot\frac{t^3}{t^3-2t+1}=\frac{t(t^2+1)}{t^3-2t+1}$[/tex]
Ora che dici? provi a finirlo l'esercizio o vuoi la risoluzione completa?
"ciampax":
Ora che dici? provi a finirlo l'esercizio o vuoi la risoluzione completa?
PPPPPPA dir la verità pensavo di poter concludere da solo, ma ho qualche dubbio (haahha!!)
Tornando seri, da: $t(t+1)(1+(t^3-2t))^-1$ho pensato di sviluppare $(1+(t^3-2t))^-1$, seguendo la formula del generico $(1+a)^b$ (non ho usato la "x" sennò potevo confondermi in questo caso!
)e svolgendo tutti calcoli avrei avuto: $1-t^3+2t+(t^3-2t)^2-(t^3-2t)^3+O((t^3-2t)^4)$
allora ho fatto tutti i calcoli ottenendo: $1-t^9+6t^7+t^6+6t^5-4t^4+7t^3+4t^2+2t+O(t^12-8t^10-12t^8-8t^6+16t^4)$
Ora..il testo mi chiedeva
"Alecc90":
con un resto di $O(1/x^4)$
e, vabbè, so che $t=1/x$ ma non è che dovevo fermarmi prima con lo sviluppo dato gli esponenti grandi che mi ritrovo...?
Oppure devo fare......boh....?
Grazie per l'aiuto!
Se vuoi fermarti a $\frac{1}{x^4}$, dal momento che $t=\frac{1}{x}$ ti dovrai fermare a $t^4$, non credi?
"ciampax":
Se vuoi fermarti a $\frac{1}{x^4}$, dal momento che $t=\frac{1}{x}$ ti dovrai fermare a $t^4$, non credi?
Esatto..questo perchè i termini di grado superiore vengono assorbiti dall'O grande, giusto?
E, in ultimo: nell'O grande, che contiene $O(t^12-8t^10-12t^8-8t^6+16t^4)$ anche qua devo tenere solo il $16t^4$, giusto?
Ma...diciamo...perchè gli altri termini li tiro via? cioè non è sbagliato..? o è perchè anche questi vengono assorbiti nell' $O(16t^4)$?
Grazie mille per tutto l'aiuto!
Nell'O-grande basta metterci la prima potenza che scarti, la quale assorbe le successive (e non c'è bisogno dei coefficienti). Pensa al significato di O-grande e ti renderai conto che tutto ciò che è "più grande" (come potenze) non è necessario al fine di stimare l'errore (o il resto, come preferisci).
"ciampax":
Nell'O-grande basta metterci la prima potenza che scarti, la quale assorbe le successive (e non c'è bisogno dei coefficienti). Pensa al significato di O-grande e ti renderai conto che tutto ciò che è "più grande" (come potenze) non è necessario al fine di stimare l'errore (o il resto, come preferisci).
Ok, quindi alla fine avrò il mio bel $O(t^4)$ e per i coefficienti hai ragione che non ci vanno...errore di distrazione!! Grazie mille!!
Quindi in conclusione finale avrò:
$1-4t^4+7t^3+4t^2+2t+O(t^4)$ con $t=1/x$
$=> 1+2/x+4/x^2+7/x^3-4/x^4+O(1/x^4)$
Grazie mille davvero sei stato molto gentile e soprattutto paziente!!!!!!
:)
Prego.
Oops..mi sono accorto adesso che tutto lo sviluppo era moltiplicato per il numeratore, che era $1/x(1/x^2+1)$
Per il risultato finale devo fare anche questa moltiplicazione, giusto?
Per il risultato finale devo fare anche questa moltiplicazione, giusto?
Ovvio: ti consiglio di farla quando hai ancora tutto espresso in $t$ e solo alla fine sostituire con le $x$.
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