Determinare lo sviluppo asintotico
Ciao a tutti ragazzi, sono in crisi con questa tipologia di esercizi come questo: "Determinare lo sviluppo asintotico per $x->0$ , dell'espressione $f(x) = (1 + x^2) / (1-x) $, con un resto $o(x^5)$."
Dovrei usare la formula di Taylor, giusto...?
Ho provato a fare qualche passaggio, ma mi servirebbe di capire proprio come devo farli...
Grazie mille a tutti!
Dovrei usare la formula di Taylor, giusto...?
Ho provato a fare qualche passaggio, ma mi servirebbe di capire proprio come devo farli...
Grazie mille a tutti!
Risposte
Ok, perfetto, grazie mille...! mi era preso un colpo...però intanto dato che lavoro con lo sviluppo "tolgo" già tutte le potenze maggiori di 4, giusto? tanto le toglierei comunque dopo, così risparmio un po' di calcoli...
PS: Devo moltiplicare anche l'$O(t^4)$ ?
PS: Devo moltiplicare anche l'$O(t^4)$ ?
Cosa intendi con l'ultima domanda?
Perchè lo sviluppo di $(1+(t^3-2t))^-1$ è $1+2t+4t^2+7t^3+O(t^4)$
ma tutto questo inizialmente era moltiplicato a $t(t^2+1) = (t^3+t)$
e giustamente mi hai confermato che per completare l'esercizio devo svolgere questa moltiplicazione $(t^3+t)*(1+2t+4t^2+7t^3+O(t^4))$
...ma il mio dubbio è:
ad esempio: il $t^3$ lo moltiplico per tutti i termini dell'altra parentesi, ma devo fare anche $(t^3)*(O(t^4))$ ?
...grazie mille!
ma tutto questo inizialmente era moltiplicato a $t(t^2+1) = (t^3+t)$
e giustamente mi hai confermato che per completare l'esercizio devo svolgere questa moltiplicazione $(t^3+t)*(1+2t+4t^2+7t^3+O(t^4))$
...ma il mio dubbio è:
ad esempio: il $t^3$ lo moltiplico per tutti i termini dell'altra parentesi, ma devo fare anche $(t^3)*(O(t^4))$ ?
...grazie mille!
é ovvio che devi moltiplicare tutto: quello che devi ricordare è che, essendo $t^k\cdot O(t^n)=O(t^{k+n})$ questi termini vengono tutti assorbiti dall'O-grande con la minima potenza che fissi. Per cui, ad esempio $t^3\cdot 4t^2$ viene assorbito da $O(t^4)$.
"ciampax":
é ovvio che devi moltiplicare tutto: quello che devi ricordare è che, essendo $t^k\cdot O(t^n)=O(t^{k+n})$ questi termini vengono tutti assorbiti dall'O-grande con la minima potenza che fissi. Per cui, ad esempio $t^3\cdot 4t^2$ viene assorbito da $O(t^4)$.
Ah ok, perfetto, come sospettavo allora!!
L'unica cosa è che facendo la moltiplicazione nell'O-grande la cosa più piccola che mi rimane è un $O(t^5)$ perché alla fine ho $(t^3+t)*([...]+O(t^4))$
O comunque, poi io posso considerare solo l'$O(t^4)$, perché è quello che mi interessa?
Grazie!!
:)
Allora, prima cosa ti consiglio di ordinare sempre le potenze dalla più piccola alla più grande: pertanto hai
[tex]$(t+t^3)(1+2t+4t^2+7t^3+O(t^4))=t+2t^2+4t^3+O(t^4)+t^3+O(t^4)=t+2t^2+5t^3+O(t^4)$[/tex]
Come vedi, appena ottengo una potenza di grado maggiore o uguale di $4$ la faccio sparire inglobata dall'O-grande.
[tex]$(t+t^3)(1+2t+4t^2+7t^3+O(t^4))=t+2t^2+4t^3+O(t^4)+t^3+O(t^4)=t+2t^2+5t^3+O(t^4)$[/tex]
Come vedi, appena ottengo una potenza di grado maggiore o uguale di $4$ la faccio sparire inglobata dall'O-grande.
"ciampax":
Allora, prima cosa ti consiglio di ordinare sempre le potenze dalla più piccola alla più grande: pertanto hai
[tex]$(t+t^3)(1+2t+4t^2+7t^3+O(t^4))=t+2t^2+4t^3+O(t^4)+t^3+O(t^4)=t+2t^2+5t^3+O(t^4)$[/tex]
Come vedi, appena ottengo una potenza di grado maggiore o uguale di $4$ la faccio sparire inglobata dall'O-grande.
Ah, ok, quindi diciamo che non mi devo fare troppi problemi per cosa mi capiterà nell'O-grande, perchè io lo voglio con grado $4$, giusto?
:)
Esatto.
"ciampax":
Esatto.
Perfetto!! Grazie mille! Sei stato molto gentile!!
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