Determinare l’estremo inferiore e l’estremo superiore

[angelox9]

Salve a tutti,
devo determinare l’estremo inferiore e l’estremo superiore del seguente insieme.

\(\displaystyle B = \left\{(-1)^nsin\left[\left(1-\frac{1}{n}\right)\frac{\pi}{2}\right],n\in \mathbb{N} \diagdown \left\{0\right\}\right\} \)

Sappiamo che è una successione oscillante, cioè \(\displaystyle (-1)^n \), vale "-1" o "1".

Considerando come è scritta la successione, il seno oscilla tra 0 con n=1, e avvicinarsi a \(\displaystyle \pi/2 \) con n molto grande.

Sapendo il comportamento del seno tra 0 e \(\displaystyle \pi/2 \), cioè il seno è crescente.

Quindi al tendere di n verso numeri grandi, il \(\displaystyle sin \pi/2 = 1 \),

Se n è pari, vale 1, che sarebbe il sup B = 1, ma non è il massimo.
Se n è dispari, vale -1, che sarebbe l'inf B = -1, ma non è il minimo.

Il problema è che non so, come dimostrare formalmente cioè che penso.

[anto_zoolander]

Puoi studiare separatamente cosa succede ai due insiemi..

$B_p={a_k=sin((1-1/(2k))pi/2),kinNN^>}$

$B_d={b_t=-sin((1-1/(2t+1))pi/2),tinNN}$

E $B=B_p cup B_d$

Ora notiamo che $0leq1-1/n<1,foralln inNN^>$ ovvero $0leq(1-1/n)pi/2$
La funzione seno è strettamente crescente nell'intervallo $[0,pi/2)$

Dunque $a_1$
Subito otteniamo che $minB_p=sqrt2/2$
E supponiamo che sia $SupB_p=1$

Dobbiamo provare che:

$•forallk inNN^>,b_kleq1$
$•forallepsilon>0exists kinNN^>:1-epsilon
$1-epsilon
Se $1-epsilonleq 0$ per quanto visto è banalmente vera
Se $1-epsilon>0$ allora abbiamo che $0<1-epsilon<1$

Dunque nel secondo caso possiamo passare alla disuguaglianza:

$arcsin(1-epsilon)<(1-1/(2k))pi/2<=>2-4/piarcsin(1-epsilon)>1/k$

In particolare $0<1-epsilon<1=>0
$0> -4/piarcsin(1-epsilon)> -2=>2>2-4/piarcsin(1-epsilon)>0$
Questo di interessa perché così sappiamo che è maggiore stretto.
Comunque preso un $epsilon>0$ sappiamo che esiste sicuramente un certo $k$ che deve essere $k>1/(2-4/piarcsin(1-epsilon))$

Questo, grazie all'arbitrarietà di $epsilon$ ci mostra che per ogni $epsilon>0$ il numero $1-epsilon$ non è mai un maggiorante

Quindi avremo che $SupB_p=1$ e $minB_p=sqrt2/2$.

L'altro prova a farlo tu e trarne le considerazioni finali.

PS: può essere più sbrigativo utilizzare una definizione equivalente di estremo superiore.
Ovvero che

$forallk inNN^>,a_kleq1$
$forallz inNN^> exists s inNN^>:a_z
E questa su conclude subito avendo fatto notare che $a$ è una successione strettamente crescente, quindi basta prendere $z
Con questo si mostra che comunque preso un $z$ si ha che $a_z$ non è mai un maggiorante.