Determinare l’estremo inferiore e l’estremo superiore

[angelox9]

Salve a tutti,
devo determinare l’estremo inferiore e l’estremo superiore del seguente insieme.

\(\displaystyle A = \left\{\frac{|3-2n|}{n+2},n\in \mathbb{N} \diagdown \left\{0\right\}\right\} \)

Al momento ho qualche dubbio, su come poter determinare la monotonia, per via del valore assoluto.

Consigli?

[kobeilprofeta]

Per n>1 puoi togliere il valore assoluto cambiando i segni

[angelox9]

"kobeilprofeta":Per n>1 puoi togliere il valore assoluto cambiando i segni

Perché per n>1, non dovrebbe essere \(\displaystyle n>\frac{3}{2} \) cioè \(\displaystyle n>\left[\frac{3}{2}\right] \) (cioè la parte intera) cioè n>2.

Quindi considerando n>2, abbiamo:
\( \displaystyle A = \left\{\frac{2n-3}{n+2},n\in \mathbb{N} \diagdown \left\{0\right\}\right\} \)

\( \displaystyle \frac{2n-3}{n+2}<\frac{2(n+1)-3}{n+1+2} \)

\(\displaystyle \frac{2n-3}{n+2}<\frac{2n+2-3}{n+1+2} \)

\(\displaystyle \frac{2n-3}{n+2}<\frac{2n-1}{n+3}
\)

\(\displaystyle (2n-3)(n+3)<(2n-1)(n+2)
\)

\(\displaystyle 2n^2+6n-3n-9<2n^2+4n-n-2
\)

\(\displaystyle -9<-2 \) Vera, quindi è crescente. \(\displaystyle a_{n}
Quindi essendo abbiamo detto che questa successione è crescente a partire da due in poi.
Dobbiamo calcolare tre limiti, i primi tre per verificare quale sia tra questi il più piccolo.

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow 1} \frac{|3-2n|}{n+2}=\frac{1}{3}
\)

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow 2} \frac{|3-2n|}{n+2}=\frac{1}{4}
\)

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow 3} \frac{|3-2n|}{n+2}=\frac{3}{5}
\)

Da tre in poi, la successione è crescente, quindi è il minimo tra i valori crescenti.

Quindi il minimo è per n=2, cioè \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow 2} \frac{|3-2n|}{n+2}=\frac{1}{4}. \)

Invece essendo la successione crescente, dobbiamo fare (togliamo il valore assoluto):

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{2n-3}{n+2}=2
\)

Quindi inf A = min A = \(\displaystyle \frac{1}{4} \)
Quindi sup A = 2

Ditemi se nelle mie considerazioni sto sbagliando qualcosa, oppure se c'è qualcosa di errato che ho detto.
Oppure se avreste fatto in qualche altro modo, più semplice.

Ringrazio in anticipo.

[gugo82]

Quando vedo una variabile naturale $n$ tendere a qualcosa che non sia $+oo$ capisco che c'è qualcosa che non va... Occhio coi limiti.

***

La strategia, in generale, è la seguente:

[*:xzlv3fpd] farsi un'idea di com'è fatto l'insieme d'interesse,

[/*:m:xzlv3fpd]
[*:xzlv3fpd] farsi un'idea di quali possono essere gli estremi superiore ed inferiore,

[/*:m:xzlv3fpd]
[*:xzlv3fpd] dimostrare che i valori congetturati sono effettivamente gli estremi dell'insieme.[/*:m:xzlv3fpd][/list:u:xzlv3fpd]

Nel caso in esame si nota che $A$ è costituito dagli elementi $a_n=(|3-2n|)/(n+2)$ corrispondenti ai numeri naturali $n != 0$. Immediatamente si nota che $a_n>0$ (perché è rapporto tra numeri positivi, con numeratore che non si annulla), quindi:


$A$ è limitato inferiormente e $0$ è un minorante di $A$.


D'altra parte, calcolando $a_n$ per qualche valore iniziale si trova:
\[
\begin{split}
a_1 &= \frac{1}{3}\\
a_2 &= \frac{1}{4}\\
a_3 &= \frac{3}{5}\\
a_4 &= \frac{5}{6}\\
a_5 &= 1\\
a_6 &= \frac{9}{8}\\
a_7 &= \frac{11}{9}\\
a_8 &= \frac{13}{10} = 1,3\\
&\vdots\\
a_{98} &= \frac{193}{100} = 1,93\\
&\vdots\\
a_{998} &= \frac{1993}{1000} = 1,993\\
&\vdots\\
a_{9998} &= \frac{193}{10000} = 1,9993\\
&\vdots
\end{split}
\]
e perciò è lecito congetturare che $a_n<2$ per ogni indice $n!=0$, ossia che $A$ sia limitato superiormente e che $2$ sia un maggiorante di $A$.
Questa congettura si può dimostrare facendo vedere che $M=2$ soddisfa la definizione di maggiorante.

Proviamo che $M=2$ è un maggiorante di $A$, cioè che esso soddisfa la proprietà:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad a_n\leq 2\; .
\]
Si tratta di dimostrare che la disequazione (nell'incognita $n$) \(\frac{|3-2n|}{n+2}\leq 2\) ha come soluzioni tutti i numeri naturali.
Risolviamo perciò la disequazione: tenendo presenti le proprietà del valore assoluto troviamo:
\[
\begin{split}
\frac{|3-2n|}{n+2}\leq 2 \quad &\Leftrightarrow \quad |3-2n|\leq 2(n+2)\\
&\Leftrightarrow \quad -2(n+2)\leq 3-2n\leq 2(n+2)\\
&\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 3-2n \leq 2n+4\\ -2n-4\leq 3-2n \end{cases}\\
&\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 4n \geq -1 &\text{Sempre Vera!}\\ -4\leq 3 &\text{Sempre Vera!}\end{cases}
\end{split}
\]
quindi la disequazione $a_n<= 2$ è certamente soddisfatta per ogni numero naturale, come volevamo.

Rimane così stabilito che:


$A$ è limitato, quindi \(\inf A\) e \(\sup A\) sono numeri reali;


inoltre, dato che \(\inf A\) è il massimo dei minoranti e \(\sup A\) il minimo dei maggioranti di $A$, da quanto stabilito segue pure che:


valgono le stime:
\[
\inf A\geq 0\qquad \text{e}\qquad \sup A\leq 2\; .
\]



Osservando più attentamente i valori \(a_1\), \(a_2\), ... determinati in precedenza si può congetturare che non può essere \(\inf A=0\), poiché il numero $a_2=1/4$ è positivo e sembra più piccolo di ogni elemento di $A$.
Questo si può dimostrare provando che $m=1/4$ soddisfa la definizione di minorante.

Proviamo che $m=1/4$ è un mainorante di $A$, cioè che esso soddisfa la proprietà:
\[
\forall n\in \mathbb{N},\quad a_n\geq \frac{1}{4}\; .
\]
Si tratta di dimostrare che la disequazione (nell'incognita $n$) \(\frac{|3-2n|}{n+2}\geq \frac{1}{4}\) ha come soluzioni tutti i numeri naturali.
Risolviamo perciò la disequazione: tenendo presenti le proprietà del valore assoluto troviamo:
\[
\begin{split}
\frac{|3-2n|}{n+2}\geq \frac{1}{4} \quad &\Leftrightarrow \quad 4|3-2n|\geq n+2\\
&\Leftrightarrow \quad 4(3-2n)\leq -(n+2)\quad \text{oppure}\quad 4(3-2n)\geq n+2\\
&\Leftrightarrow \quad 12-8n\leq -n-2\quad \text{oppure}\quad 12-8n\geq n+2\\
&\Leftrightarrow \quad 7n\geq 10\quad \text{oppure}\quad 9n\leq 10\\
&\Leftrightarrow \quad n\geq 2\quad \text{oppure}\quad n\leq 1\\
\end{split}
\]
quindi la disequazione $a_n>= 1/4$ è certamente soddisfatta per ogni numero naturale, come volevamo.

Rimane acquisito che anche $1/4$ è un minorante di $A$ e dunque che:


valgono le stime:
\[
\inf A\geq \frac{1}{4}\qquad \text{e}\qquad \sup A\leq 2\; ,
\]


che migliorano le precedenti.

Ora, dato che $1/4$ è un minorante di $A$ e che $1/4=a_2\in A$, risulta certamente:
\[
\min A = \frac{1}{4}\; ,
\]
dunque è automatica l'uguaglianza:


\[
\inf A=\frac{1}{4}\; .
\]


D'altra parte, i valori $a_8=1,93$, $a_(98)=1,93$, $a_(998)=1,993$, $a_(9998)=1,9993$, ... sembra si avvicinino a $2$, dunque è possibile congetturare che nessun numero più piccolo di $2$ risulti un maggiorante di $A$, ossia che \(2\) coincida con l'estremo superiore di $A$.
Questo si può dimostrare provando che $2$ soddisfa le proprietà caratteristiche dell'estremo superiore.

Dobbiamo far vedere che $\Lambda=2$ soddisfa le seguenti proprietà:
\[
\begin{align}
\tag{1} \forall n\in \mathbb{N},\quad a_n&\leq 2\\
\tag{2} \forall \varepsilon >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N}:\quad a_\nu &> 2-\varepsilon\; .
\end{align}
\]
Che valga la (1) è evidente, perché già sappiamo che $2$ è un maggiorante di $A$.
Per provare che vale la (2) dobbiamo far vedere che la disequazione parametrica $(|3-2n|)/(n+2) > 2- epsilon$ (rispetto all'incognita $n$) ha almeno una soluzione naturale $\nu$ per ogni valore positivo del parametro $epsilon$. Dobbiamo perciò discutere l'esistenza di soluzioni al variare del parametro $epsilon$: distinguiamo due casi:

[list=A][*:xzlv3fpd] se $2-epsilon \leq 0$, ossia se $epsilon >= 2$, la disequazione $(|3-2n|)/(n+2) > 2- epsilon$ è risolta da ogni numero naturale (poiché il primo membro è positivo ed il secondo negativo o nullo);

[/*:m:xzlv3fpd]
[*:xzlv3fpd] se $2-epsilon<0$, ossia se $0 2- epsilon$ sfruttando le proprietà del valore assoluto: abbiamo:
\[
\begin{split}
\frac{|3-2n|}{n+2}> 2-\varepsilon \quad &\Leftrightarrow \quad |3-2n|> (2-\varepsilon)(n+2)\\
&\Leftrightarrow \quad 3-2n< -(2-\varepsilon)(n+2)\quad \text{oppure}\quad 3-2n> (2-\varepsilon)(n+2)\\
&\Leftrightarrow \quad \varepsilon n> 7-2\varepsilon \quad \text{oppure}\quad (4-\varepsilon) n < 2\varepsilon -1\\
&\Leftrightarrow \quad n> \frac{7}{\varepsilon} - 2\quad \text{oppure}\quad n< \frac{2\varepsilon - 1}{4-\varepsilon}\; ,
\end{split}
\]
dunque la disequazione ha sempre almeno una soluzione, perché l'insieme $NN$ non è limitato superiormente ed in corrispondenza del numero reale \(\frac{7}{\varepsilon} - 2\) (che non può essere un maggiorante di $NN$) è sempre possibile determinare $\nu$ in guisa che \(\nu > \frac{7}{\varepsilon} - 2\) (basta prendere, ad esempio, $\nu = [7/epsilon - 2] + 217$);[/*:m:xzlv3fpd][/list:o:xzlv3fpd]
quindi la disequazione parametrica ha almeno una soluzione naturale $nu$ sempre, cioè per ogni $epsilon >0$.
Da ciò segue che $2$ gode anche della (2), cosicché $2$ è il \(\sup A\).

Dunque:


\[
\sup A = 2\; .
\]



Con un po' di sforzo in più si può pure far vedere che:


$A$ non è dotato di massimo.



Dato che già sappiamo \(\sup A =2\), per provare che $A$ non è dotato di massimo basta provare che $a_n!= 2$ per ogni $n\in NN$, ossia che l'equazione $(|3-2n|)/(n+2) = 2$ non ha nessuna soluzione naturale.
Abbiamo:
\[
\begin{split}
\frac{|3-2n|}{n+2} =2 \quad &\Leftrightarrow \quad |3-2n| = 2(n+2)\\
&\Leftrightarrow \quad 3-2n = -2(n+2)\quad \text{oppure}\quad 3-2n=2(n+2)\\
&\Leftrightarrow \quad 0 = -7\quad \text{oppure}\quad 4n=1\\
\end{split}
\]
e si vede charamente che non esiste alcun $n\in NN$ che soddisfi una delle due ultime condizioni; pertanto l'equazione $a_n=2$ non ha soluzioni.


***

Bonus Question:

Calcolare il numero decimale \(a_n\) quando $n=10^k-2$ (con $k\in NN\setminus \{0\}$).

[angelox9]

Ti ringrazio di aver risposto, in modo cosi esaustivo.

Partiamo da qui:

"gugo82":Quando vedo una variabile naturale n tendere a qualcosa che non sia \(\displaystyle +\infty \) capisco che c'è qualcosa che non va... Occhio coi limiti.

Quindi quale sarebbe la forma corretta?
Dire calcolo an, per qualche valore?

Nella ricerca dell'estremo superione quando dici
B. se \(\displaystyle 2-\epsilon<0 \) non dovrebbe essere \(\displaystyle 2-\epsilon>0 \)?

\(\displaystyle \nu = [7/\epsilon - 2] + 217 \)
Il 217, numero preso a caso, giusto?

All'inizio hai potuto appurare che un inf A era 0, ma per trovare il min A hai dovuto determinare dei valori, ma se questi valori non fossero mettiamo caso un numero cosi finito (piccolo)?

Per calcolare l'estremo superiore hai determinato dei valori di an abbastanza grandi, appurando che ogni valore che calcolavi era inferiore a 2.
Potrei dire la stessa cosa portando al limite, oppure formalmente è sbagliato?

Ogni volta mi confondo col valore assoluto.

Non mi è chiaro il Bonus Question:
Cioè $ a_n=(|3-2n|)/(n+2) $ devo calcolare $ n=10^k-2 $
Cioè $ a_{10^k-2}=(|3-2n|)/(n+2) = (|3-2(10^k-2)|)/(10^k-2+2)= (|3+4-2*10^k|)/10^k =(|7-2*10^k|)/10^k = (|7-2*(2*5)^k|)/10^k =(|7-2*2^k*5^k|)/10^k = (|7-2^{k+1}*5^k|)/10^k $

[gugo82]

"angelok90":Ti ringrazio di aver risposto, in modo cosi esaustivo.

Prego.

"angelok90":[quote="gugo82"]Quando vedo una variabile naturale n tendere a qualcosa che non sia \(\displaystyle +\infty \) capisco che c'è qualcosa che non va... Occhio coi limiti.

Quindi quale sarebbe la forma corretta?[/quote]
Dato che $NN$ non ha alcun punto di accumulazione al finito, prendere un limite per $n->n_0$ con $n_0 in NN$ (o anche $in RR$) è chiaramente errato.
Quando ti interessa calcolare il valore di una successione in un certo indice $n_0$ basta sostituire $n=n_0$ nella legge di assegnazione; il limite non ti serve a nulla.

"angelok90":Dire calcolo an, per qualche valore?

Questo può essere utile, ma il calcolo esplicito degli $a_n$ non è legato alla correttezza dello svolgimento; più che altro, come ogni calcolo esplicito, esso serve ad avere un'idea di quel che succede nella situazione che si ha davanti.

"angelok90":Nella ricerca dell'estremo superione quando dici
[quote="gugo82"]B. se \(\displaystyle 2-\epsilon<0 \)

non dovrebbe essere \(\displaystyle 2-\epsilon>0 \)?[/quote]
Ovviamente sì.
È un errore da copia-incolla. Lo correggo.

"angelok90":[quote="gugo82"]
\(\displaystyle \nu = [7/\epsilon - 2] + 217 \)

Il 217, numero preso a caso, giusto? [/quote]
Certo.

"angelok90":All'inizio hai potuto appurare che un inf A era 0[...]

No, occhio... Ho appurato che $0$ è un minoranze di $A$, quindi che \(\inf A\) è finito ed è $>=0$.

"angelok90":[...] ma per trovare il min A hai dovuto determinare dei valori, ma se questi valori non fossero mettiamo caso un numero cosi finito (piccolo)?

Avrei fatto altrimenti.
È chiaro che la strategia risolutiva passa per e non può prescindere da un'analisi attenta di quello che si ha sotto mano.

"angelok90":Per calcolare l'estremo superiore hai determinato dei valori di an abbastanza grandi, appurando che ogni valore che calcolavi era inferiore a 2.
Potrei dire la stessa cosa portando al limite, oppure formalmente è sbagliato?

Non è sbagliato, però è un ragionamento che si basa sulla conoscenza della nozione di limite, che è una cosa più avanzata rispetto alle nozioni (davvero basilari) di estremo superiore ed inferiore.
Questo spiega perché non ho usato in alcun modo i limiti nello svolgimento dell'esercizio.

"angelok90":Ogni volta mi confondo col valore assoluto.

Serve esercizio.

"angelok90":Non mi è chiaro il Bonus Question:
Cioè $ a_n=(|3-2n|)/(n+2) $ devo calcolare $ n=10^k-2 $
Cioè $ a_{10^k-2}=(|3-2n|)/(n+2) = (|3-2(10^k-2)|)/(10^k-2+2)= (|3+4-2*10^k|)/10^k =(|7-2*10^k|)/10^k = (|7-2*(2*5)^k|)/10^k =(|7-2*2^k*5^k|)/10^k = (|7-2^{k+1}*5^k|)/10^k $

Certo... Ma quanto fa?
Insomma, qual è il valore di $a_(10^k-2)$ espresso come numero decimale?