Determinare l'esistenza di un punto di minimo.

[galles90]

Buongiorno, ho il seguente esercizio:
Sia $f:RR to RR $ una funzione continua tale che

$lim_(x to - infty)f(x)=lim_(x to + infty)f(x)=+infty$

dimostrare che esiste almeno un punto di minimo per $f$.

Definzione

Sia $f: X to RR$ e sia $x_0 in X$, inoltre, supponiamo che si abbia un intorno $U$ di $x_0$ tale che si abbia

$f(x) ge f(x_0) \ qquad forall x in U cap X$

si dice che $x_0$ è un punto di minimo locale relativo per $f$ ed $f(x_0)$ è un valore di minimo relativo.

Discussione

Dall'ipotesi deve necessariamente essere che $f$ risulti essere monotona decrescente in un intervallo $(I_-)$ e monotona crescente in un intervallo $(I_+)$, ossia

$(I_-)={x in RR: \ x $(I_+)={x in RR: \ x dove $(I_-) , (I_+) subset RR$.
Dalla continuità si ha l'esistenza di un intorno $U_(x_i)$ di $x_i$ di raggio $delta>0$, ossia, in un intorno sinistro di $x_i$ dove si ha la decrescenza, e un intorno destro di $x_i$ dove si ha la crescenza di $f$.
Passando al limite

$lim_(delta to 0)U_(x_i)=x_i$

il punto $x_i$ risulta essere di minimo relativo per $f$.

Il fatto che non mi convince molto della mia discussione, è che intuitivamente mi sembra corretta, ma matematicamente no, in quando il punto $x_i$ per come è stato definito, non mi sembra che soddisfi la definizione da me da data in precedenza. Quindi, come potrei rimediare qualora fosse sbagliata la mia discussione seguendo sempre questo pensiero, ovviamente, sempre se è corretto ragionare in questo modo.

Ciao.

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Risposte

gugo82

6 giu 2019, 22:41

Il primo paragrafo della discussione è clamorosamente falso.
Esistono funzioni divergenti che non sono definitivamente monotone in nessun intorno di $+-oo$.
Ne riesci a costruire qualcuna?

In secondo luogo, gli insiemi $I_(+-)$ non sono definiti decentemente, perché: chi è $x_1$?

Per risolvere, io userei un po' qualche successione minimizzante.
In particolare, prendi $(x_n)$ tale che $f(x_n) -> "inf" f$ (lo puoi fare? Perché?) e mostra che essa è limitata. Usa il teorema di Bolzano & Weierstrass per estrarre una sottosuccessione "buona" da $(x_n)$ e sfrutta la continuità di $f$ per trovare il minimo.

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galles90

8 giu 2019, 13:40

Ciao gugo82, cosa vuoi dire per funzione divergenti, intendi funzioni divergenti in modulo, ossia funzioni non regolari, tipo $f(x)=(-1)^(x)x^2$

Invece per la definizion di insiemi data da me, in mal modo la riformulo, cioè

$I_(+)={x,\ y \ in RR :\ x $I_(-)={x,\ y \ in RR :\ x
Ciao

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gugo82

8 giu 2019, 14:13

L'aggettivo divergente ha una definizione precisa.

Gli insiemi definiti non sono definiti bene.


P.S.: $(-1)^x$ non è ben definito.
Se hai ancora problemi di questo tipo con le funzioni elementari, c'è davvero un grosso problema.

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[gugo82]

Il primo paragrafo della discussione è clamorosamente falso.
Esistono funzioni divergenti che non sono definitivamente monotone in nessun intorno di $+-oo$.
Ne riesci a costruire qualcuna?

In secondo luogo, gli insiemi $I_(+-)$ non sono definiti decentemente, perché: chi è $x_1$?

Per risolvere, io userei un po' qualche successione minimizzante.
In particolare, prendi $(x_n)$ tale che $f(x_n) -> "inf" f$ (lo puoi fare? Perché?) e mostra che essa è limitata. Usa il teorema di Bolzano & Weierstrass per estrarre una sottosuccessione "buona" da $(x_n)$ e sfrutta la continuità di $f$ per trovare il minimo.

[galles90]

Ciao gugo82, cosa vuoi dire per funzione divergenti, intendi funzioni divergenti in modulo, ossia funzioni non regolari, tipo $f(x)=(-1)^(x)x^2$

Invece per la definizion di insiemi data da me, in mal modo la riformulo, cioè

$I_(+)={x,\ y \ in RR :\ x $I_(-)={x,\ y \ in RR :\ x
Ciao

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[gugo82]

L'aggettivo divergente ha una definizione precisa.

Gli insiemi definiti non sono definiti bene.


P.S.: $(-1)^x$ non è ben definito.
Se hai ancora problemi di questo tipo con le funzioni elementari, c'è davvero un grosso problema.