Determinare le soluzioni di un'equazione di terzo grado
Ho questa funzione $g(x)=1+3$\( \sqrt[3]{x} \)
Devo determinare le soluzioni di $g(x)=x$. In particolare, veri care che esiste un unico $\alpha$ in $(1;+\infty)$ tale che $g(\alpha) = \alpha$, e che $g((1,\alpha])\subset [1,\alpha]$.
Devo risolvere l'equazione di terzo grado $g(x)=x$ o c'è un altro metodo?
Devo determinare le soluzioni di $g(x)=x$. In particolare, veri care che esiste un unico $\alpha$ in $(1;+\infty)$ tale che $g(\alpha) = \alpha$, e che $g((1,\alpha])\subset [1,\alpha]$.
Devo risolvere l'equazione di terzo grado $g(x)=x$ o c'è un altro metodo?
Risposte
Non credo che il testo ti richieda di risolvere esplicitamente quell'equazione di punto fisso.
Piuttosto, puoi usare il fatto che se $|g'(x)|<1$ su $(1,+\infty)$, allora $g$ ha un unico punto fisso $alpha$ tale che $g(alpha)=alpha$. (per inciso, converge ad esso linearmente).
In alternativa, puoi studiare la monotonia della $h(x)=x-g(x)$, e vedi che tale funzione è continua e crescente in $(1,+infty)$.
Piuttosto, puoi usare il fatto che se $|g'(x)|<1$ su $(1,+\infty)$, allora $g$ ha un unico punto fisso $alpha$ tale che $g(alpha)=alpha$. (per inciso, converge ad esso linearmente).
In alternativa, puoi studiare la monotonia della $h(x)=x-g(x)$, e vedi che tale funzione è continua e crescente in $(1,+infty)$.
La monotonia di $h(x)$ per cosa mi aiuta?
Non ho neanche capito l'altro metodo
Ha senso dire che $h(1)=g(1)-1<0$ e $h(x) \rightarrow +\infty$ per $ x \to +\infty$ e poi uso il teorema degli zeri e essendo crescente so che c'è solo uno zero?
Non ho neanche capito l'altro metodo
Ha senso dire che $h(1)=g(1)-1<0$ e $h(x) \rightarrow +\infty$ per $ x \to +\infty$ e poi uso il teorema degli zeri e essendo crescente so che c'è solo uno zero?
Sì quando parlavo della monotonia di $h$ sottointendevo il fatto che dovessi usare il teorema degli zeri. [per monotonia intendevo dire che dovevi vedere che la funzione è crescente].
L'"altro metodo" si chiama metodo del punto fisso. Se cerchi cosa significa punto fisso, dovresti riuscire a capire l'idea del metodo.
L'"altro metodo" si chiama metodo del punto fisso. Se cerchi cosa significa punto fisso, dovresti riuscire a capire l'idea del metodo.
Non avevo mai sentito parlare di punto fisso, ora ho letto e ho un po' capito il metodo
E come posso verificare che $g((1,\alpha])\subset [1,\alpha]$?
E come posso verificare che $g((1,\alpha])\subset [1,\alpha]$?
Scusa,ma se la funzione è monotona e se $g(1)>1$ e ricordando che $g(a)=a$,allora dovrebbe essere abbastanza semplice verificare che $g(1)$ è il minimo della funzione,$g(a)$ il massimo e quindi \( g([1,a])=[g(1),g(a)]=[g(1),a] \) (scusate nel caso le notazioni lasciano un po',o molto,a desiderare,ma non mi veniva modo più chiaro per esprimere il concetto)che a sua volta è contenuto in $[1,a]$.
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