Determinare le primitive

[angelox9]

salve a tutti, sto avendo qualche problema a capire come determinare le primitive di questa funzione.
\(\displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{sin x}*ln(1+\sqrt{sin x})}{tg x} \)

Qualche suggerimento?

[feddy]

Prova con la sostituzione $u=sin(x)$. Da qui poi ottieni l'integrale $int(ln(sqrt(u)+1))/sqrt(u) du$. A questo punto la sostituzione da fare è $sqrt(u)+1=v$, da cui $dv=...$ e l'integrale diventa $2*int ln(v)dv$ il cui risultato è immediato.
Ora non ti resta altro che tornare "indietro"

[angelox9]

Ti ringrazio di aver risposto feddy.
Ho ancora qualche problem nell'usare la sostituzione.

"feddy":Prova con la sostituzione $u=sin(x)$. Da qui poi ottieni l'integrale $int(ln(sqrt(u)+1))/sqrt(u) du$.

Non dovrebbe essere $int sqrt(u) ln(sqrt(u)+1) du$
La tangente come la trasformi?

[feddy]

Dopo la sostituzione diventa $int sqrt(u)*ln(sqrt(u)+1)* 1/u du$, da cui puoi scrivere $int(ln(sqrt(u)+1))/sqrt(u) du$. Chiaro ?

[feddy]

Il passaggio che forse ti sfugge è $sqrt(u)/u=(sqrt(u)*sqrt(u))/(u*sqrt(u))=1/sqrt(u)$

[angelox9]

\(\displaystyle \int \frac{\sqrt{sen x}*ln(1+\sqrt{sen x}))}{tg x} dx=
\\
\int \frac{\sqrt{sen x}*ln(1+\sqrt{sen x}))}{\frac{sen x}{cos x}} dx=
\\
\int \sqrt{sen x}*ln(1+\sqrt{sen x}))\frac{cos x}{sen x} dx \)

Pongo \(\displaystyle u=sen x \) e \(\displaystyle du=cos x dx \)

\(\displaystyle \int \sqrt{u}*ln(1+\sqrt{u}))\frac{1}{u} du=
\\
\int \frac{ln(1+\sqrt{u}))}{\sqrt{u}} du \)

Pongo \(\displaystyle v=1+\sqrt{u} \) e \(\displaystyle dv=\frac{1}{2\sqrt{u}} du \)

\(\displaystyle 2\int ln(v) dv
\)

Applico l'integrazione per parti.

\(\displaystyle 2\int ln(v) dv=
\\
2\int 1*ln(v) dv=
\\
2[v*ln(v)-\int v*\frac{1}{v}]=
\\
2[v*ln(v)-\int 1]=
\\
2[v*ln(v)-v]=
\\
2[(\sqrt{sen x}+1)ln(\sqrt{sen x}+1)-(\sqrt{sen x}+1)]
\)

Giusto?

Ho un dubbio banale sul cambiamento di variabile, posso chiederti?

[feddy]

Corretto! Certo, dimmi

[angelox9]

Il problema che ho, è quando debbo pore le condizioni sopratutto sul derivato.
\( \displaystyle du=cos x dx \)
Cioè di preciso quando imponiamo queste condizioni, cosa vogliamo dire realmente.
Come possiamo capire quale sia il derivato e quale sia la variabile da cambiare.

[feddy]

Bene, la tua domanda non è per nulla scontata e di solito dipende anche dalla facoltà e dal docente l'interpretazione che se ne da: il mio prof. di Fisica I chiamava il differenziale incremento infinitesimo, mentre quello di Analisi non poteva sentirlo.

Quello che si usa è un procedimento formale che viene comunemente accettato: ti consiglio veramente di leggere questa appendice dell'Università di Matematica di Firenze sull'argomento. Ne vale la pena, almeno per avere un'idea.

Dal punto di vista della dimostrazione, eccola:

Sia $G$ una primitiva di $f$ in un intervallo $I$, ossia $G'(t)=f(t) forall t in I$. Prendi ora $t=varphi(x)$ una funzione di classe $C^1$ su un intervallo $[a,b]$ tale che $varphi([a,b]) subset I$.

Per il thm. di derivazione della funzione composta:

$ (d)/(d x) G(varphi(x))=G'(varphi(x))*varphi'(x)=f(varphi(x))*varphi'(x) $ e cioè:

$G(t)$ è primitiva di $f(t)$ $<=>$ $ Phi(x):=G(varphi(x)) $ è primitiva di $f(varphi(x))*varphi'(x)$.

Ed è da qui che risulta la formula per sostituzione:

$ int f(varphi(x))*varphi'(x) dx=int f(t)dt $ , con $ t=varphi(x) $.

Ora per la versione operativa si fa quello che dici te:

Si pone $t=varphi(x)$ nell'integrale iniziale, e si calcola il differenziale $dt=varphi'(x)dx$. Così ottieni proprio la formula che abbiamo ricavato prima. Nota che però questo è un procedimento puramente formale. Il motivo per cui funzione è scritto sopra.

Nel caso in cui l'integrale sia definito gli estremi diventano $varphi(a),varphi(b)$, e questi restano tali anche se dovesse verificarsi che in $[a,b]$ si ha $varphi(a)>varphi(b)$.

"angelok90":Cioè di preciso quando imponiamo queste condizioni, cosa vogliamo dire realmente.

In pratica stiamo trasformando l'integrale nell'intervallo $[a,b]$ nell'integrale in $[varphi(a),varphi(b)]$, in modo che i due integrali abbiano lo stesso valore.

"angelok90":Come possiamo capire quale sia il derivato e quale sia la variabile da cambiare.

Beh, se intendi come riconoscere la sostituzione di solito è evidente e la maggior parte delle volte è questione di occhio. Il derivato ( intendi differenziale o derivata ) è spiegato nella dimostrazione perché risulta così.