Determinare le caratteristiche di un insieme in due variabili e disegnarlo
Buondì,
negli esercizi che compaiono al mio esame di analisi 2 viene spesso fatta la richiesta nel titolo. Con un filo di difficoltà riesco a fare la maggior parte degli esercizi che lo richiedono ma questo no:
Dato $ E={(x,y) in RR^2 : x <= 0, x <= 2-y, y >= x^2 } $
disegnare E e stabilire se è aperto, chiuso, limitato, compatto in $ RR^2 $ .
Ora, io per dire se è aperto o chiuso mi baso sui segni dei vincoli. Vedo che sono tutti con una uguaglianza inclusa e quindi dico che è chiuso e non aperto. Per dire se è compatto bisogna vedere se è anche limitato. Se provo a immaginarmi i vincoli su un grafico, mi esce che:
- col primo scarto il primo e quarto quadrante
- col terzo mi disegno la parabola della x al quadrato e prendo solo i valori al di sopra scartando il resto
- col secondo esplicito y, perchè la x è l'unica che abbia un vincolo utile ($ x <= 0 $ ) a dare un senso a questo e ricavo quindi che $ y <= 2-x $ . Siccome $ x <= 0 $ ma non ha un limite andando verso $ \-infty $, la y può assumere il valore che le pare, a me questo vincolo non viene chiaro. Sembra che y sia illimitata, ma nella soluzione mi viene detto che E è limitato (senza spiegare perchè o farne il disegno.
edit: stavo pensando, potrei vederlo come l'equazione di una retta. Lasciando stare la disuguaglianza, potrei vederlo come $ y = -x +2 $ Se m = -1 credo sia la retta che becca y = 2 sull'asse e poi procede verso l'alto a sinistra con angolo di 45° sempre rispetto all'asse y.
In quel modo l'insieme verrebbe probabilmente a chiudersi prima o poi, quando la curva $ y = x^2 $ raggiunge un'inclinazione sufficiente. E' corretto?
negli esercizi che compaiono al mio esame di analisi 2 viene spesso fatta la richiesta nel titolo. Con un filo di difficoltà riesco a fare la maggior parte degli esercizi che lo richiedono ma questo no:
Dato $ E={(x,y) in RR^2 : x <= 0, x <= 2-y, y >= x^2 } $
disegnare E e stabilire se è aperto, chiuso, limitato, compatto in $ RR^2 $ .
Ora, io per dire se è aperto o chiuso mi baso sui segni dei vincoli. Vedo che sono tutti con una uguaglianza inclusa e quindi dico che è chiuso e non aperto. Per dire se è compatto bisogna vedere se è anche limitato. Se provo a immaginarmi i vincoli su un grafico, mi esce che:
- col primo scarto il primo e quarto quadrante
- col terzo mi disegno la parabola della x al quadrato e prendo solo i valori al di sopra scartando il resto
- col secondo esplicito y, perchè la x è l'unica che abbia un vincolo utile ($ x <= 0 $ ) a dare un senso a questo e ricavo quindi che $ y <= 2-x $ . Siccome $ x <= 0 $ ma non ha un limite andando verso $ \-infty $, la y può assumere il valore che le pare, a me questo vincolo non viene chiaro. Sembra che y sia illimitata, ma nella soluzione mi viene detto che E è limitato (senza spiegare perchè o farne il disegno.
edit: stavo pensando, potrei vederlo come l'equazione di una retta. Lasciando stare la disuguaglianza, potrei vederlo come $ y = -x +2 $ Se m = -1 credo sia la retta che becca y = 2 sull'asse e poi procede verso l'alto a sinistra con angolo di 45° sempre rispetto all'asse y.
In quel modo l'insieme verrebbe probabilmente a chiudersi prima o poi, quando la curva $ y = x^2 $ raggiunge un'inclinazione sufficiente. E' corretto?
Risposte
y=2-x è una retta...suvvia l'esercizio è banale, è un esercizietto da quarta liceo quasi
"Vulplasir":
y=2-x è una retta...suvvia l'esercizio è banale, è un esercizietto da quarta liceo quasi
ahah grazie, ci stavo pensando proprio mentre postavi. almeno è una conferma.
noto però tanta supponenza in questo forum. Mi rendo conto che magari uno fa domande che per voi sono banali, ma che in due post mi vengano date due risposte con questo tono non è bello. Neanche v'avessi offeso o fatto perdere una giornata o scritto le formule senza formattare.
Ciao! Questo tipo di esercizi di solito è molto facile risolverli graficamente, mentre mi sembra che tu cerchi di risolvere l'esercizio solo per via analitica. In due dimensioni è ancora fattibile, in tre direi proprio che è meglio evitare se possibile. Le condizioni che hai indicano tutte una porzione di piano, quindi non devi far altro che trovare l'intersezione di tutte queste porzioni. In questo modo saranno soddisfatti tutti i vincoli. Passando al caso pratico, la condizione $y \leq 2-x$ individua la porzione di piano i cui punti $(x,y)$ soddisfano proprio quella condizione (è quasi tautologico). Prova a disegnare la retta e a prendere un po' di punti (ad esempio $(0,0)$, $(5,0)$ ecc...): vedrai che tutti i punti della porzione di piano "sotto" la retta (e visto che c'è l'uguale anche lungo la retta) soddisfano la tua condizione. Quindi potresti, ad esempio, cancellare la parte di piano che non va bene. Ripeti il ragionamento per tutte le condizioni e ti rimarrà l'insieme cercato.
Anche per la questione aperto/chiuso, io trovo più intuitivo ragionare con la definizione e gli intorni avendo sotto gli occhi l'insieme, secondo me non è una buona idea pensare che siccome c'è l'uguale allora è chiuso.
Se c'è qualcosa che non ti è chiaro chiedi pure
Anche per la questione aperto/chiuso, io trovo più intuitivo ragionare con la definizione e gli intorni avendo sotto gli occhi l'insieme, secondo me non è una buona idea pensare che siccome c'è l'uguale allora è chiuso.
Se c'è qualcosa che non ti è chiaro chiedi pure
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo