Determinare la somma di una serie prodotto.
Salve ragazzi sto avendo difficoltà a verificare il valore della somma di questa serie. Mi serviva determinarla per un esercizio di Probabilità ed utilizzando Wolfram Alpha online ho ottenuto che la serie ha somma $1/3$. In sintesi devo verificare:
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(2n) = 1/3$
Ho ragionato così:
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(2n) = $
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(n)(1/2)^(n) = $
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) xx \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) = $
$\sum_{n=1}^infty [\sum_{k=1}^n(1/2)^(k)(1/2)^(n-k)]$ = $\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n(1/2)^(k)(1/2)^(-k)] = $
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n(1/2)^(0)] =$
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n 1] = $
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n) n] = \sum_{n=1}^infty (n/2^n)$
Ma questo non dovrebbe essere vero in quanto su Wolfram mi dice che la serie ottenuta ha somma 2. Di conseguenza ho sbagliato decisamente qualcosa. Sapete dirmi dove?
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(2n) = 1/3$
Ho ragionato così:
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(2n) = $
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(n)(1/2)^(n) = $
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) xx \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) = $
$\sum_{n=1}^infty [\sum_{k=1}^n(1/2)^(k)(1/2)^(n-k)]$ = $\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n(1/2)^(k)(1/2)^(-k)] = $
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n(1/2)^(0)] =$
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n 1] = $
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n) n] = \sum_{n=1}^infty (n/2^n)$
Ma questo non dovrebbe essere vero in quanto su Wolfram mi dice che la serie ottenuta ha somma 2. Di conseguenza ho sbagliato decisamente qualcosa. Sapete dirmi dove?
Risposte
Attento che
Un modo è questo. Prendi \( q\in\mathbb R \), \( q\neq 1 \). Per induzione puoi provare che
\[
\sum_{k = 1}^n q^k = \frac{1 - 1^{n + 1}}{1 - q}\text{.}
\] Quindi, se \( \lvert q\rvert < 1 \) hai che
\[
\lim_{n\to \infty}{\sum_{k = 1}^n q^k} = \lim_{n\to \infty}{\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}} = \frac{1}{1 - q}\text{.}
\]
Ora metti \( q = (1/2)^2 \).
A me Wolfram conferma che fa \( 4/3 \).
"s.capone7":non è vero.
$ \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n)(1/2)^(n) = $
$ \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) xx \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) = $
Un modo è questo. Prendi \( q\in\mathbb R \), \( q\neq 1 \). Per induzione puoi provare che
\[
\sum_{k = 1}^n q^k = \frac{1 - 1^{n + 1}}{1 - q}\text{.}
\] Quindi, se \( \lvert q\rvert < 1 \) hai che
\[
\lim_{n\to \infty}{\sum_{k = 1}^n q^k} = \lim_{n\to \infty}{\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}} = \frac{1}{1 - q}\text{.}
\]
Ora metti \( q = (1/2)^2 \).
A me Wolfram conferma che fa \( 4/3 \).
@marco2132k: La somma è effettivamente $\frac{1}{3}$ perché la serie geometrica si somma con quella formula solo se parte da $n=0$; in questo caso, partendo da $n=1$, bisogna sottrarre $((1/2)^2)^0=1$.
Grazie mille ad entrambi. Effettivamente avete ragionissima, ora ho capito.
Dunque in sostanza avrei dovuto ragionare trattandola come
$\sum_{k=1}^infty ((1/2)^2)^n$.
My bad.
$\sum_{k=1}^infty ((1/2)^2)^n$.
My bad.