Determinare la somma di una serie prodotto.

s.capone7
Salve ragazzi sto avendo difficoltà a verificare il valore della somma di questa serie. Mi serviva determinarla per un esercizio di Probabilità ed utilizzando Wolfram Alpha online ho ottenuto che la serie ha somma $1/3$. In sintesi devo verificare:
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(2n) = 1/3$

Ho ragionato così:
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(2n) = $
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(n)(1/2)^(n) = $
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) xx \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) = $
$\sum_{n=1}^infty [\sum_{k=1}^n(1/2)^(k)(1/2)^(n-k)]$ = $\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n(1/2)^(k)(1/2)^(-k)] = $
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n(1/2)^(0)] =$
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n 1] = $
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n) n] = \sum_{n=1}^infty (n/2^n)$

Ma questo non dovrebbe essere vero in quanto su Wolfram mi dice che la serie ottenuta ha somma 2. Di conseguenza ho sbagliato decisamente qualcosa. Sapete dirmi dove?

Risposte
marco2132k
Attento che
"s.capone7":

$ \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n)(1/2)^(n) = $
$ \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) xx \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) = $
non è vero.

Un modo è questo. Prendi \( q\in\mathbb R \), \( q\neq 1 \). Per induzione puoi provare che
\[
\sum_{k = 1}^n q^k = \frac{1 - 1^{n + 1}}{1 - q}\text{.}
\] Quindi, se \( \lvert q\rvert < 1 \) hai che
\[
\lim_{n\to \infty}{\sum_{k = 1}^n q^k} = \lim_{n\to \infty}{\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}} = \frac{1}{1 - q}\text{.}
\]
Ora metti \( q = (1/2)^2 \).

A me Wolfram conferma che fa \( 4/3 \).

Mephlip
@marco2132k: La somma è effettivamente $\frac{1}{3}$ perché la serie geometrica si somma con quella formula solo se parte da $n=0$; in questo caso, partendo da $n=1$, bisogna sottrarre $((1/2)^2)^0=1$.

s.capone7
Grazie mille ad entrambi. Effettivamente avete ragionissima, ora ho capito.

s.capone7
Dunque in sostanza avrei dovuto ragionare trattandola come
$\sum_{k=1}^infty ((1/2)^2)^n$.

My bad.

Mephlip
Sì, esatto. Anche perché il prodotto di due serie si comporta così: link.

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