Determinare la somma di una serie prodotto.

[s.capone7]

Salve ragazzi sto avendo difficoltà a verificare il valore della somma di questa serie. Mi serviva determinarla per un esercizio di Probabilità ed utilizzando Wolfram Alpha online ho ottenuto che la serie ha somma $1/3$. In sintesi devo verificare:
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(2n) = 1/3$

Ho ragionato così:
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(2n) = $
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(n)(1/2)^(n) = $
$\sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) xx \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) = $
$\sum_{n=1}^infty [\sum_{k=1}^n(1/2)^(k)(1/2)^(n-k)]$ = $\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n(1/2)^(k)(1/2)^(-k)] = $
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n(1/2)^(0)] =$
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n)\sum_{k=1}^n 1] = $
$\sum_{n=1}^infty [(1/2)^(n) n] = \sum_{n=1}^infty (n/2^n)$

Ma questo non dovrebbe essere vero in quanto su Wolfram mi dice che la serie ottenuta ha somma 2. Di conseguenza ho sbagliato decisamente qualcosa. Sapete dirmi dove?

[marco2132k]

Attento che

"s.capone7":
$ \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n)(1/2)^(n) = $
$ \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) xx \sum_{k=1}^infty (1/2)^(n) = $

non è vero.

Un modo è questo. Prendi \( q\in\mathbb R \), \( q\neq 1 \). Per induzione puoi provare che
\[
\sum_{k = 1}^n q^k = \frac{1 - 1^{n + 1}}{1 - q}\text{.}
\] Quindi, se \( \lvert q\rvert < 1 \) hai che
\[
\lim_{n\to \infty}{\sum_{k = 1}^n q^k} = \lim_{n\to \infty}{\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}} = \frac{1}{1 - q}\text{.}
\]
Ora metti \( q = (1/2)^2 \).

A me Wolfram conferma che fa \( 4/3 \).

[Mephlip]

@marco2132k: La somma è effettivamente $\frac{1}{3}$ perché la serie geometrica si somma con quella formula solo se parte da $n=0$; in questo caso, partendo da $n=1$, bisogna sottrarre $((1/2)^2)^0=1$.

[s.capone7]

Grazie mille ad entrambi. Effettivamente avete ragionissima, ora ho capito.

[s.capone7]

Dunque in sostanza avrei dovuto ragionare trattandola come
$\sum_{k=1}^infty ((1/2)^2)^n$.

My bad.

[Mephlip]

Sì, esatto. Anche perché il prodotto di due serie si comporta così: link.