Determinare la serie di potenze e calcolarne R

[villanisilvia]

Buonasera, ho una domanda su un'esercizio di Analisi 2 che riguarda il determinare la seguente serie
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(k+1)x^{k+3}}{4^{k+2}} \) e calcolarne il raggio di convergenza R. Il procedimento che vorrei adottare è il seguente: la serie data è una serie lacunare (me lo suggerisce \(\displaystyle x^{k+3} \)) e, pertanto, devo eseguire un cambio di variabile per poter svolgere correttamente i calcoli. Riscrivendo la serie in questo modo
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(k+1)(x^{k}x^{3})}{4^{k+2}} \) ho evidenziato \(\displaystyle x^{k} \) e posso sostituire \(\displaystyle y=x^{3} \).
il mio ragionamento è sbagliato o posso procedere con i calcoli?

Grazie in anticipo.

[stormy1]

però, col tuo ragionamento,chi sarebbe $a_k$ ?
io farei così : porrei $n=k+3$
in questo modo si avrebbe,per $n geq 3$, $a_n=(n-2)/(4^(n-1))$

[villanisilvia]

Applicando il criterio del rapporto ottengo che \(\displaystyle \ell=\frac{1}{4} \), e, per definizione, \(\displaystyle R=4 \). Per il Teorema di esistenza del raggio di convergenza, avendo \(\displaystyle 0 \(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n-2}{4^{n-1}}x^{n} \), giusto?

[stormy1]

giusto
sola una piccola precisazione : $n$ va da $3$ a $+infty$