Determinare immagine di una funzione.
Il corollario del teorema dei valori intermedi recita:
se f è continua su un intervallo I, allora l'immagine f(I) di I attraverso f è ancora un intervallo di estremi inf_f e sup_f.
Il libro di testo, come esempio, calcola l'immagine di:
$f: x-> (e^(x^2))*(x-1) + arctan(ln(x)) + 2 $ ,
calcolando il limite dx e sx di f, per x che tende ai due estremi del dominio: $(0,\infty)$ (dalla definizione di inf e sup).
Ecco, starò sicuramente facendo una gran confusione ma.. PER COME L'HO CAPITA IO, questo metodo per il calcolo dell'immagine non funge!
Prendendo una semplice parabola $y= x^2+2x-1$ , perché, nonostante sia continua lungo tutto il suo dominio, se vado a calcolare
$lim_(x->-\infty)(f(x))$ non ottengo l'estremo inferiore dell'immagine, dato dall'ordinata del vertice della parabola??
Insomma, cosa non ho capito?
se f è continua su un intervallo I, allora l'immagine f(I) di I attraverso f è ancora un intervallo di estremi inf_f e sup_f.
Il libro di testo, come esempio, calcola l'immagine di:
$f: x-> (e^(x^2))*(x-1) + arctan(ln(x)) + 2 $ ,
calcolando il limite dx e sx di f, per x che tende ai due estremi del dominio: $(0,\infty)$ (dalla definizione di inf e sup).
Ecco, starò sicuramente facendo una gran confusione ma.. PER COME L'HO CAPITA IO, questo metodo per il calcolo dell'immagine non funge!
Prendendo una semplice parabola $y= x^2+2x-1$ , perché, nonostante sia continua lungo tutto il suo dominio, se vado a calcolare
$lim_(x->-\infty)(f(x))$ non ottengo l'estremo inferiore dell'immagine, dato dall'ordinata del vertice della parabola??
Insomma, cosa non ho capito?
Risposte
"billytalentitalianfan":
Prendendo una semplice parabola $y= x^2+2x-1$ , perché, nonostante sia continua lungo tutto il suo dominio, se vado a calcolare
$lim_(x->-\infty)(f(x))$ non ottengo l'estremo inferiore dell'immagine, dato dall'ordinata del vertice della parabola??
Insomma, cosa non ho capito?
Ottieni $+oo$, come è giusto che sia. Credo che tu stia facendo un po' di confusione. L'insieme immagine spesso non è di facile determinazione e, per quanto mi riguarda, non conosco uno schema da seguire.
Nel tuo caso avresti dovuto derivare e studiare il segno della derivata prima; quindi:
$y = (e^(x^2))⋅(x-1)+arctan(ln(x))+2$
$y' = e^(x^2) (2x^2 - 2x + 1) + 1/(x(ln(x)^2 + 1))$
$e^(x^2) (2x^2 - 2x + 1) > 0$ , $AA x in RR$
$1/(x(ln(x)^2 + 1)) > 0$, $AA x in RR^+$
Quindi la funzione è strett. monotona. Allora sì che ha senso calcolare i limiti agli estremi del dominio. Ti torna?
Ma l'immagine della parabola non va dall'ordinata del vertice a $+infty$ ?
Insomma, in alcun modo la parabola può avere valori "al di sotto del vertice".
Mi torna però che calcolare il sup e l'inf per determinare l'insieme immagine ha senso solo se f è definita in tutto $R$, è continua e STRETTAMENTE CRESCENTE (o decrescente) lungo tutto il suo dominio.
Era questo che superficialmente avevo ignorato.
Insomma, in alcun modo la parabola può avere valori "al di sotto del vertice".
Mi torna però che calcolare il sup e l'inf per determinare l'insieme immagine ha senso solo se f è definita in tutto $R$, è continua e STRETTAMENTE CRESCENTE (o decrescente) lungo tutto il suo dominio.
Era questo che superficialmente avevo ignorato.
"billytalentitalianfan":
Mi torna però che calcolare il sup e l'inf per determinare l'insieme immagine ha senso solo se f è definita in tutto $R$, è continua e STRETTAMENTE CRESCENTE (o decrescente) lungo tutto il suo dominio.
Era questo che superficialmente avevo ignorato.
Per l'appunto. La parabola non è strettamente crescente in $RR$.
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