Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
Ciao a tutti ho bisogno di alcune dritte su questo esercizio che sto svolgendo
"Determinare il numero di soluzioni dell'equazione"
$x^2−1−2log|x|=0$
Ho considerato:
$y=x^2−1−2log|x|$
Ho verificato se la funzione è pari (è giusto ragionare così???)
$f(x) = f(-x)$
$x^2−1−2*log|x| = (-x)^2-1-2*log|-x|$
$x^2−1−2*log|x| = x^2−1−2*log|x|$
quindi la funzione è pari (giusto???)
Studio il limite:
$lim_(x->+oo)f(x) = +oo$
e dato che è una funzione pari per analogia anche
$lim_(x->-oo)f(x) = +oo$
Adesso mi studio la derivata prima:
$f'(x) = 2x-2/x = (2(x^2-1))/x$
Studio la funzione per $x>0$:
$f'(x) > 0$
Numeratore: $(-oo, -1) uu (1,+oo)$
Denominatore: $(0,+oo)$
Quindi per $x>0$: $f(x)$ è decrescente in $(0,1)$ e crescente in $(1,+oo)$
Analogamente (essendo una funzione pari) per $x<0$: $f(x)$ è decrescente in $(-oo,-1)$ e crescente in $(-1,0)$
Calcolo infine quanto vale la funzione nel punto $x=1$:
$f(1)=x^2−1−2*log|x|=1^2-1=0$
Ora in mio dubbio è il seguente: prima ho fatto uno studio di funzione simile e nel punto $x=1$ ho ottenuto $f(1) = -1$ ed alla fine ho trovato 4 soluzioni come ha fatto il prof perchè la funzione varia negli intervalli $(-oo,-1),(-1,0),(0,1),(1,+oo)$.
Adesso in questo esercizio ho trovato che in $f(1) = 0$ adesso avrei due sole soluzioni giusto??? Cioè negli intervalli $(-oo,-1)$ e $(1,+oo)$ con $x=0$ punto di minimo assoluto. (non ho 4 soluzioni perchè in $(-1,0)$ e $(0,1)$ l'equazione va a 0) questo è il mio principale dubbio
Scusate se sono stata molto lunga ma ho cercato di risolvere questo mio dubbio senza riuscirci. Grazie a tutti
[mod="dissonance"]Aggiunti i \$\$ all'inizio e alla fine di ogni formula.[/mod]
"Determinare il numero di soluzioni dell'equazione"
$x^2−1−2log|x|=0$
Ho considerato:
$y=x^2−1−2log|x|$
Ho verificato se la funzione è pari (è giusto ragionare così???)
$f(x) = f(-x)$
$x^2−1−2*log|x| = (-x)^2-1-2*log|-x|$
$x^2−1−2*log|x| = x^2−1−2*log|x|$
quindi la funzione è pari (giusto???)
Studio il limite:
$lim_(x->+oo)f(x) = +oo$
e dato che è una funzione pari per analogia anche
$lim_(x->-oo)f(x) = +oo$
Adesso mi studio la derivata prima:
$f'(x) = 2x-2/x = (2(x^2-1))/x$
Studio la funzione per $x>0$:
$f'(x) > 0$
Numeratore: $(-oo, -1) uu (1,+oo)$
Denominatore: $(0,+oo)$
Quindi per $x>0$: $f(x)$ è decrescente in $(0,1)$ e crescente in $(1,+oo)$
Analogamente (essendo una funzione pari) per $x<0$: $f(x)$ è decrescente in $(-oo,-1)$ e crescente in $(-1,0)$
Calcolo infine quanto vale la funzione nel punto $x=1$:
$f(1)=x^2−1−2*log|x|=1^2-1=0$
Ora in mio dubbio è il seguente: prima ho fatto uno studio di funzione simile e nel punto $x=1$ ho ottenuto $f(1) = -1$ ed alla fine ho trovato 4 soluzioni come ha fatto il prof perchè la funzione varia negli intervalli $(-oo,-1),(-1,0),(0,1),(1,+oo)$.
Adesso in questo esercizio ho trovato che in $f(1) = 0$ adesso avrei due sole soluzioni giusto??? Cioè negli intervalli $(-oo,-1)$ e $(1,+oo)$ con $x=0$ punto di minimo assoluto. (non ho 4 soluzioni perchè in $(-1,0)$ e $(0,1)$ l'equazione va a 0) questo è il mio principale dubbio
Scusate se sono stata molto lunga ma ho cercato di risolvere questo mio dubbio senza riuscirci. Grazie a tutti
[mod="dissonance"]Aggiunti i \$\$ all'inizio e alla fine di ogni formula.[/mod]
Risposte
Non capisco che cosa sia il log asteriscato. Poi vedo che sai usare il sistema asciimathml. Perché non lo usi per tutte le formule? Diventerebbe tutto più chiaro.
Ciao allora * è la moltiplicazione. Credimi ho provato un sacco di volte ad usare quel metodo per scrivere le formule (mi sono stampata anche tutto il manuale che si trova sul forum) ma alcune volte mi metteva i ????? e non capivo il motivo
scusami ancora
scusami ancora
Ma no, è molto semplice. 
Guarda, ho modificato io il tuo messaggio, usa il pulsante "Riporta" per vedere cosa ho fatto. Ho interpretato la scrittura log*|x| come $log|x|$, spero volessi dire questo.
Guarda, ho modificato io il tuo messaggio, usa il pulsante "Riporta" per vedere cosa ho fatto. Ho interpretato la scrittura log*|x| come $log|x|$, spero volessi dire questo.
si volevo dire quello ma come mai appaiono questi ????? anche nella tua nuova versione?????
Aaaahhnnn... allora è un tuo problema tecnico. Che browser stai usando?
internet explorer
Hai installato MathPlayer? Prova a seguire il link "Non vedi bene la formula?" in questa pagina:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
grazie mille ora vedo tutto perfettamente ho installato il programmino...ora attendo i dubbi matematici grazie ancora ciao 
Allora sia $f(x)=x^2-1-2log|x|$, vogliamo contare le soluzioni di $f(x)=0$. Giustamente tu osservi che la funzione è pari. Aggiungerei una osservazione che tu hai sicuramente fatto ma che andrebbe esplicitata: $f$ non è definita per $x=0$ e $lim_{x\to0}f(x)=+infty$. Ora che conosciamo il comportamento della funzione in 0, vediamo cosa succede per $x>0$. Vedo che hai svolto i calcoli, a vista mi sembrano corretti. Per sbrigarci usiamo un trucco: facciamo disegnare il grafico di $f$ al sistema integrato e controlliamo se il risultato è quello atteso.
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=-0.1; ymax=1;axes("labels");
plot("x^2-1-2*log(abs(x))");[/asvg]
e difatti tu stessa hai concluso che $f$ è decrescente in $(0,1)$ e crescente in $(1, infty)$. C'è quindi un punto di minimo (assoluto) per $x=1$ e guarda caso quello è proprio uno zero di $f$. Insomma i tuoi conti sono corretti.
E direi che è pure corretta la tua conclusione: sul semiasse positivo delle $x$ c'è un solo zero di $f$. Per simmetria c'è un solo zero pure sul semiasse negativo. Resterebbe da studiare il caso $x=0$ ma l'abbiamo già fatto all'inizio apposta: $f$ in zero non è definita e tende a $+infty$. Concludiamo che ci sono esattamente due soluzioni di $f(x)=0$.
Non ho praticamente aggiunto nulla a quello che avevi detto tu. Spero di avere chiarito i vari dubbi!
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=-0.1; ymax=1;axes("labels");
plot("x^2-1-2*log(abs(x))");[/asvg]
e difatti tu stessa hai concluso che $f$ è decrescente in $(0,1)$ e crescente in $(1, infty)$. C'è quindi un punto di minimo (assoluto) per $x=1$ e guarda caso quello è proprio uno zero di $f$. Insomma i tuoi conti sono corretti.
E direi che è pure corretta la tua conclusione: sul semiasse positivo delle $x$ c'è un solo zero di $f$. Per simmetria c'è un solo zero pure sul semiasse negativo. Resterebbe da studiare il caso $x=0$ ma l'abbiamo già fatto all'inizio apposta: $f$ in zero non è definita e tende a $+infty$. Concludiamo che ci sono esattamente due soluzioni di $f(x)=0$.
Non ho praticamente aggiunto nulla a quello che avevi detto tu. Spero di avere chiarito i vari dubbi!
grazie mille questo esame mi sta facendo venire delle crisi isteriche assurde (ormai la notte non dormo manco più a furia di innervosirmi) cmq grazie mille 
ti mando un grosso bacio e scusate se vi rompo spesso ma le mie doti in matematica sono pari a 0
ti mando un grosso bacio e scusate se vi rompo spesso ma le mie doti in matematica sono pari a 0
dissonance scusami ancora ma non mi è chiara una cosa come mai adesso ho 2 soluzioni???? cioè non sarebbe giusto dire 4 soluzioni
4 soluzioni? E perché? Se non ti convinci, abbozza il grafico di $f$ e conta quante volte interseca l'asse delle $x$; una volta per le $x$ positive, e riflettendo il grafico intorno all'asse delle $y$ ottieni un'altra intersezione per le $x$ negative.
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-0.1; ymax=5;axes("labels");
plot("x^2-1-2*log(abs(x))");[/asvg]
Riesci a vedere questi grafici? Altrimenti segui questo link: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26628.html
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-0.1; ymax=5;axes("labels");
plot("x^2-1-2*log(abs(x))");[/asvg]
Riesci a vedere questi grafici? Altrimenti segui questo link: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26628.html
si si ora mi è tutto chiaro smack mi ero confusa con un esercizio fatto sempre oggi dove ho ottenuto 4 soluzioni ma perchè avevo come minimo assoluto x=-1
[asvg]xmin=-5.0; xmax=5.0;
ymin=-5.0;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("(x^2-2-2* log(abs(x)))");[/asvg]
grazie mille
[asvg]xmin=-5.0; xmax=5.0;
ymin=-5.0;
axes("labels");
stroke="blue";
plot("(x^2-2-2* log(abs(x)))");[/asvg]
grazie mille
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