Determinare il gradiente

[starbike]

Salve a tutti,
sto cercando di determinare il gradiente della $f(x,y) = cos2xseny$ nel punto $(pi/4 , pi/4)$
Se faccio il limite del rapporto incrementale mi esce la derivata rispetto x e rispetto y entrambe 0 se invece faccio subito la derivata rispetto a x esce -$sqrt(2)$...dove sbaglio???

[gugo82]

E che ne sappiamo?
Mostraci i tuoi conti.

[starbike]

$fx(x,y) = lim t->0 (f((pi/4)+t , (pi/4) ) - f((pi/4),(pi/4)))/t = lim t ->0 (cos((pi/2)+t)sqrt(2)/2)/t = 0$

mentre derivata di x = $-2sen(2x)sen(y) = - sqrt(2)$ se metto $(pi/4)$ al posto della x e della y

[gugo82]

Hai chiaramente sbagliato a calcolare il limite... Perchè?

[starbike]

la formula è :

$lim t -> 0 (f(xo +tv1 , yo +tv2) - f(xo,yo))/t$

e io ho che v=(1,0) quando calcolo fx e quindi si riduce tutto a :


$lim t -> 0 (f(xo +t , yo) - f(xo,yo))/t$

vado ad applicarlo alla mia funzione originale sapendo che $f(xo,yo) = f(pi/4 , pi/4) $ è $=0$ e ottengo

$lim t -> 0 (cos (2(xo +t))sen(yo))/t$ = $lim t -> 0 (cos (2(pi/4 +t))sen(pi/4))/t$ =
$lim t -> 0 ( (cos (pi/2 +t)(sqrt(2)/2))/t)$ = $lim t -> 0 ( cos(pi/2)(sqrt(2)/2)) / t = 0/t = 0 $

[gugo82]

Quindi tutte i limiti in forma indeterminata del tipo \(\frac{0}{0}\) sono uguali a zero?

[starbike]

Ahhhhhh.....se faccio Hopital torna.....lo posso fare Hopital vero???

[Brancaleone1]

"starbike":
$lim t -> 0 (cos (2(xo +t))sen(yo))/t = lim t -> 0 (cos (2(pi/4 +t))sen(pi/4))/t =$
\(\displaystyle \color{red}{\lim_{t \to 0} \frac{\cos (\frac{\pi}{2} +t ) ( \frac{\sqrt{2}}{2} )}{t}} \)

\(\displaystyle = \color{green}{\lim_{t \to 0} \frac{\cos (\frac{\pi}{2} +2t ) ( \frac{\sqrt{2}}{2} )}{t}}\)$=\text{MacLaurin}= \lim_{t \to 0} \frac{(-2t+o(t)) (\frac{\sqrt{2}}{2})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sqrt{2}t+o(t)}{t}=-\sqrt2$

[starbike]

MacLaurin??? mmm mai fatto ma se è utile me lo studio XD

[gugo82]

@starbike: Potrebbe esserti ancora più utile ripassare la trigonometria elementare: infatti \(\cos (\pi/2 + t) =-\sin t\).

P.S.: Ma che esame devi sostenere?

[starbike]

Analisi 2 XD ma sono informatica è molto più leggero di Analisi 2 che fanno a matematica..... ho l'esame domani XD