Determinare il chr serie a segni alterni
Salve, ho studiato la teoria e sto cercando di risolvere qualche esercizio sulle serie, devo trovare il carattere.
Nel seguente esercizio mi sono bloccato sul limite di un fattoriale. Di solito confronto la serie con una più semplice e se hanno lo stesso carattere studio la più semplice, ma qua non vedo come procedere
$sum_(n=0)^oo (-1)^n 4^(n+1)/((2n)!)$
penso sia conveniente applicare il criterio di Leibniz, quindi la serie converge se il seguente limite è $=0$
$lim_(n->+oo) 4^(n+1)/((2n)!)$
ma non so come risolverlo con il fattoriale. spero in qualche suggerimento. grazie.
Nel seguente esercizio mi sono bloccato sul limite di un fattoriale. Di solito confronto la serie con una più semplice e se hanno lo stesso carattere studio la più semplice, ma qua non vedo come procedere
$sum_(n=0)^oo (-1)^n 4^(n+1)/((2n)!)$
penso sia conveniente applicare il criterio di Leibniz, quindi la serie converge se il seguente limite è $=0$
$lim_(n->+oo) 4^(n+1)/((2n)!)$
ma non so come risolverlo con il fattoriale. spero in qualche suggerimento. grazie.
Risposte
Ciao,
io risolverei applicando direttamente il criterio di convergenza assoluta.
io risolverei applicando direttamente il criterio di convergenza assoluta.
"Hadronen":
Ciao,
io risolverei applicando direttamente il criterio di convergenza assoluta.
grazie, quindi dovrei studiare la serie:
$sum_(n=0)^oo |(-1)^n 4^(n+1)/((2n)!)|$
che è a termini positivi.
quindi $|-1|^n$ sarebbe $=1^n=1$?
Certo.
"Hadronen":
Certo.
grazie
Un'alternativa poteva essere utilizzare la formula di Stirling per il fattoriale:
\((2n)! \sim \sqrt{4\pi n}(\frac{2n}{e})^{2n}\) per \(n \to \infty\) ed il tuo limiti diventava
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{4}{\sqrt{4\pi n}}(\frac{e}{n})^{2n}=0}\)
\((2n)! \sim \sqrt{4\pi n}(\frac{2n}{e})^{2n}\) per \(n \to \infty\) ed il tuo limiti diventava
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{4}{\sqrt{4\pi n}}(\frac{e}{n})^{2n}=0}\)
"maxsiviero":
Un'alternativa poteva essere utilizzare la formula di Stirling per il fattoriale:
\((2n)! \sim \sqrt{4\pi n}(\frac{2n}{e})^{2n}\) per \(n \to \infty\) ed il tuo limiti diventava
\(\displaystyle{\lim_{n \to \infty}\frac{4}{\sqrt{4\pi n}}(\frac{e}{n})^{2n}=0}\)
grazie, non ho mai incontrato questa formula, comunque ho risolto normalmente la serie
"12Aquila":
penso sia conveniente applicare il criterio di Leibniz, quindi la serie converge se il seguente limite è $=0$
$lim_(n->+oo) 4^(n+1)/((2n)!)$
Sbagliato, anzi incompleto. Il criterio di Leibniz ti chiede di verificare anche che quella successione sia decrescente.
"dissonance":
[quote="12Aquila"]penso sia conveniente applicare il criterio di Leibniz, quindi la serie converge se il seguente limite è $=0$
$lim_(n->+oo) 4^(n+1)/((2n)!)$
Sbagliato, anzi incompleto. Il criterio di Leibniz ti chiede di verificare anche che quella successione sia decrescente.[/quote]
bè con un fattoriale sotto sarà sicuramente decrescente.
Decrescente da un certo indice in poi, di sicuro. E questo è sufficiente ad applicare il teorema di Leibniz; però lo devi dimostrare o almeno scrivere da qualche parte, se vuoi darlo per scontato.
"dissonance":
Decrescente da un certo indice in poi, di sicuro. E questo è sufficiente ad applicare il teorema di Leibniz; però lo devi dimostrare o almeno scrivere da qualche parte, se vuoi darlo per scontato.
ok
per dimostrarlo rigorosamente dovrei calcolare la derivata e controllare che sia negativa?
in questo caso non saprei trovare la derivata di un fattoriale, sto studiando Analisi 1
No, insomma... In questo caso basta che ti accorgi che $a_(n+1) < a_n$
La derivata del fattoriale non ha senso, peraltro. Si tratta di una operazione strettamente discreta che non ha un analogo continuo (a meno di generalizzazioni piuttosto complicate, come la funzione Gamma). In questi casi la tecnica è quella che dice Hadronen ed è spiegata qua:
post368167.html#p368167
post368167.html#p368167
"Hadronen":
No, insomma... In questo caso basta che ti accorgi che $a_(n+1) < a_n$
"dissonance":
La derivata del fattoriale non ha senso, peraltro. Si tratta di una operazione strettamente discreta che non ha un analogo continuo (a meno di generalizzazioni piuttosto complicate, come la funzione Gamma). In questi casi la tecnica è quella che dice Hadronen ed è spiegata qua:
post368167.html#p368167
grazie mille ad entrambi
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