Determinare il carattere della serie $\sum_{n = 1}^{\infty} \sqrt{n}[n\sin(\frac{1}{n}) - \cos^2(\frac{1}{n})]$
Ancor prima di postare ogni tentativo di applicazione dei vari criteri di convergenza per le serie, vorrei capire come verificare la condizione di convergenza, vale a dire
$\lim_{n->\infty} \sqrt{n}[n\sin(\frac{1}{n}) - \cos^2(\frac{1}{n})]$
Ho tentato di mettere in evidenza $n$ ma rimango fermo alla forma $\infty \cdot 0$.
Un suggerimento per iniziare?
$\lim_{n->\infty} \sqrt{n}[n\sin(\frac{1}{n}) - \cos^2(\frac{1}{n})]$
Ho tentato di mettere in evidenza $n$ ma rimango fermo alla forma $\infty \cdot 0$.
Un suggerimento per iniziare?
Risposte
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Lo sviluppo in serie di McLaurin l'ho visto nell'ambito delle funzioni a variabili reali. Qui sto tentando di svolgere un limite di successione: stiamo indirettamente ricorrendo al teorema ponte?
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Ponendo $m = \frac{1}{n}$ e scrivendo $cos^2(m) = \frac{1 + \cos(2m)}{2}$ si ha che
$\sin(m) = m - \frac{m^3}{3!} + \frac{m^5}{5!} + o(m^5)$
$\cos(2m) = 1 - \frac{4m^2}{2} + \frac{16m^4}{4!} + o(m^4)$
Poiché $n->\infty$ allora $m->0$ e dunque
$\lim_{m->0} \sqrt(\frac{1}{m}) [\frac{1}{m}(m - \frac{m^3}{3!} + \frac{m^5}{5!} + o(m^5))-(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 - \frac{4m^2}{2} + \frac{16m^4}{4!} + o(m^4)))]$
$= \lim_{m->0} \sqrt(\frac{1}{m}) [(1 - \frac{m^2}{3!} + \frac{m^4}{5!} + o(m^4))-(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - m^2 + \frac{m^4}{3} + o(m^4))]$
$= \lim_{m->0} \sqrt(\frac{1}{m}) [(1 - \frac{1}{3!})m^2 + (\frac{1}{5!} - \frac{1}{3})m^4 + o(m^4)]$
$= \lim_{m->0} [(1 - \frac{1}{3!})\sqrt{m^3} + (\frac{1}{5!} - \frac{1}{3})\sqrt{m^7} + o(\sqrt{m^7})]$
I tre termini tendono a zero, dunque il limite è zero. Fin qui è corretto?
$\sin(m) = m - \frac{m^3}{3!} + \frac{m^5}{5!} + o(m^5)$
$\cos(2m) = 1 - \frac{4m^2}{2} + \frac{16m^4}{4!} + o(m^4)$
Poiché $n->\infty$ allora $m->0$ e dunque
$\lim_{m->0} \sqrt(\frac{1}{m}) [\frac{1}{m}(m - \frac{m^3}{3!} + \frac{m^5}{5!} + o(m^5))-(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 - \frac{4m^2}{2} + \frac{16m^4}{4!} + o(m^4)))]$
$= \lim_{m->0} \sqrt(\frac{1}{m}) [(1 - \frac{m^2}{3!} + \frac{m^4}{5!} + o(m^4))-(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - m^2 + \frac{m^4}{3} + o(m^4))]$
$= \lim_{m->0} \sqrt(\frac{1}{m}) [(1 - \frac{1}{3!})m^2 + (\frac{1}{5!} - \frac{1}{3})m^4 + o(m^4)]$
$= \lim_{m->0} [(1 - \frac{1}{3!})\sqrt{m^3} + (\frac{1}{5!} - \frac{1}{3})\sqrt{m^7} + o(\sqrt{m^7})]$
I tre termini tendono a zero, dunque il limite è zero. Fin qui è corretto?
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Dunque $\lim_{m->0} [(1 - \frac{1}{3!})\sqrt{m^3} + o(\sqrt{m^3})] $?
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Pensavo all'applicazione del criterio del confronto asintotico con la serie convergente $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$, in maniera tale che il limite del rapporto faccia $5/6$ e quindi concludere che le due serie hanno lo stesso carattere.
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Grazie.
Ciao CosenTheta,
Più semplicemente, si poteva scrivere $cos^2(1/n) = 1 - sin^2(1/n) $ e poi dimostrare che
$ n sin(1/n) - 1 + sin^2(1/n) < 1/n^2 $
$\frac{(n sin(1/n) - 1)(n^2 + n sin(1/n) + 1)}{n^2} < 0 $
Quest'ultima è senz'altro vera se $ sin(1/n) < 1/n $, che è vera. Dunque la serie proposta è minore della serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha} $ con $\alpha = 3/2 > 1$, notoriamente convergente.
Più semplicemente, si poteva scrivere $cos^2(1/n) = 1 - sin^2(1/n) $ e poi dimostrare che
$ n sin(1/n) - 1 + sin^2(1/n) < 1/n^2 $
$\frac{(n sin(1/n) - 1)(n^2 + n sin(1/n) + 1)}{n^2} < 0 $
Quest'ultima è senz'altro vera se $ sin(1/n) < 1/n $, che è vera. Dunque la serie proposta è minore della serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha} $ con $\alpha = 3/2 > 1$, notoriamente convergente.
Metodo alternativo interessante. Grazie.
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