Determinare il carattere della seguente serie
Guardando tra gli esami vecchi del mio professore ho trovato questa serie che sembra impossibile e difficilissima e nemmeno il mio amico XXXXXXXXXX di mugnano laureato con 110 e lode l'ha saputa risolvere:
$\sum_(n=1)^(+\infty)(n^3(1-cos(1/(n^2))))/(sen(n\pi+(\pi)/2))$
[mod="dissonance"]Cancellato nome e cognome dell'amico laureato.[/mod]
$\sum_(n=1)^(+\infty)(n^3(1-cos(1/(n^2))))/(sen(n\pi+(\pi)/2))$
[mod="dissonance"]Cancellato nome e cognome dell'amico laureato.[/mod]
Risposte
Non vorrei dirla grossa, ma il fattore $1/sin(npi+pi/2)$ dovrebbe renderla una serie a segni alterni, che ad occhio dovrebbe convergere per il criterio di Leibniz
Ma precisamente come si dimostra che converge tramite il criterio di leibniz?
Non sono sicura sia corretto , però io a primo impatto ho pensato subito di risolverla utilizzando lo sviluppo di Taylor di :
$cos(1/(n^2))=1-1/(n^4)$
$sen(npi+pi/2)=npi+pi/2$
e quindi la serie diventa $2/pi*sum_1^infty(1/(n*(2n+1)))$ che è asintotica alla serie di Mengoli $1/(n*(n+1))$ e quindi dovrebbe Convergere.
$cos(1/(n^2))=1-1/(n^4)$
$sen(npi+pi/2)=npi+pi/2$
e quindi la serie diventa $2/pi*sum_1^infty(1/(n*(2n+1)))$ che è asintotica alla serie di Mengoli $1/(n*(n+1))$ e quindi dovrebbe Convergere.
Nella prima uguaglianza che hai scritto manca senz'altro un o-piccolo, e credo anche un fattore al secondo termine.
La seconda "uguaglianza" invece non mi quadra affatto, l'argomento del seno non è infinitesimo per $n->+oo$
La seconda "uguaglianza" invece non mi quadra affatto, l'argomento del seno non è infinitesimo per $n->+oo$
"strangolatoremancino":
La seconda "uguaglianza" invece non mi quadra affatto, l'argomento del seno non è infinitesimo per $n->+oo$
Hai ragione scusa nella fretta me ne ero dimenticata.
La serie ad occhio allora dovrebbe divergere
perchè se consideriamo $1/(sen(npi+pi/2))$ come un termine a segni alterni
e applicando taylor la serie diverrebbe diventare $1/(n*sen(npi+pi/2))$ che è minorata dalla serie $-1/n$ che dovrebbe divergere.
Non sono sicura sia tutto corretto , tu che dici ?
A dire la verità non ti seguo
La serie proposta da link19, grazie la termine $1/(sen(n\pi+(\pi)/2))$, è equivalente alla serie
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n*a_n$ con $a_n=n^3(1-cos(1/(n^2)))$
Per poter applicare il criterio di Leibniz dobbiamo verificare che $a_n$ soddisfa le ipotesi del caso
La serie proposta da link19, grazie la termine $1/(sen(n\pi+(\pi)/2))$, è equivalente alla serie
$\sum_(n=1)^(+\infty)(-1)^n*a_n$ con $a_n=n^3(1-cos(1/(n^2)))$
Per poter applicare il criterio di Leibniz dobbiamo verificare che $a_n$ soddisfa le ipotesi del caso
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