Determinare i punti critici

[starbike]

Data la funzione $f(x,y) = (xy)/(1+x^2+y^2)$ determinare i punti critici
non mi riesce proprio mi potrete aiutare?
Grazie

[gugo82]

Posta i tuoi conti.

[starbike]

A me viene:

la derivata rispetto a x = $(y^3+y-x^2y)/((1+x^2+y^2)^2)$

la derivata rispetto a y = $(x^3+x-y^2x)/((1+x^2+y^2)^2)$

quindi pongo il gradiente = 0 per ricercare i punti critici

${((y^3+y-x^2y)/((1+x^2+y^2)^2) = 0),((x^3+x-y^2x)/((1+x^2+y^2)^2)=0):}$

ossia quando

${((y^3+y-x^2y)= 0),(((1+x^2+y^2)^2)=0),((x^3+x-y^2x)=0):}$

ora come faccio a determinare i punti critici???

[starbike]

ma devo prima di tutto effettuare il controllo del dominio e escludere come punti critici quelli non appartenenti al dominio??? cioè il denominatore deve essere $!=0$ non è giusto porlo a sistema = 0 ???

[gugo82]

Ma, scusa, da quando in qua esistono frazioni col denominatore nullo?

[Zero87]

"starbike":${((y^3+y-x^2y)/((1+x^2+y^2)^2) = 0),((x^3+x-y^2x)/((1+x^2+y^2)^2)=0):}$

ossia quando

${((y^3+y-x^2y)= 0),(((1+x^2+y^2)^2)=0),((x^3+x-y^2x)=0):}$

ora come faccio a determinare i punti critici???

Era un sistema in due equazioni, non capisco (in questo caso) perché dopo ne aggiungi una. In ogni equazione, se ricordi, il denominatore va "tolto" facendo il MCD, ma osservando - prima - se si annulla in qualche punto.

Alla fine, come sistema resta
${((y^3+y-x^2y)= 0),((x^3+x-y^2x)=0):}$
che è un sistema in due equazioni in due incognite da risolvere... come ti pare

PS. Hai capito perché ho tolto il denominatore e perché non compare come equazione nel sistema?
- se non hai capito perché ho tolto il denominatore da entrambe le equazioni... osservalo meglio (vedi, ad esempio, quando si annulla...)
- se non hai capito perché il denominatore non compare come equazione... magari chiedi spiegazioni però è meglio che ti riguardi come si risolvono i sistemi

[Zero87]

"starbike":ma devo prima di tutto effettuare il controllo del dominio e escludere come punti critici quelli non appartenenti al dominio??? cioè il denominatore deve essere $!=0$ non è giusto porlo a sistema = 0 ???

Mentre scrivevo ha risposto un sacco di gente...

Comunque, devi sempre guardare il dominio.

Una volta visto il dominio vai a calcolare i punti critici ed è ovvio che se, togliendo qualche denominatore, te ne viene qualcuno al di fuori, non va conteggiato.
Il denominatore non c'entra nulla con il sistema, lo analizzi a priori quando fai il dominio ma poi nel sistema puoi lasciarlo perdere ricordandoti però di esso se trovi punti in cui vai fuori dal dominio a causa del denominatore stesso.

Uhm... mi sa che non si è capito molto...

[starbike]

Era quello che mi bloccava poichè il dominio $f(x,y) = { (x,y) in RR^2 : x^2+y^2 != -1 } $ il che mi sembra impossibile che la somma di due quadrati possa mai essere = -1 quindi l'ho rimesso a sistema

Ora ho capito che va tolto dal sistema....grazie mille....

[starbike]

Help! non riesco a determinare i punti critici, cioè non capisco come fare
${(y(1+y^2-x^2)=0),(x(1+x^2-y^2)=0):}$ quindi uno è P=(0,0) e l'altri???