Determinare gli eventuali punti di estremo relativo della seguente funzione

[schiluigi2000]

Buonasera a tutti.
Mi sto preparando per l'esame di analisi 2 e non riesco a risolvere questo esercizio, in particolare dopo la derivata prima non riesco a trovare i valori che annullano l'equazione

f(x, y) = xy^3 + x^2y + y .

[gio73]

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[pilloeffe]

Ciao NotCrueeel,

"NotCrueeel":in particolare dopo la derivata prima non riesco a trovare i valori che annullano l'equazione

f(x, y) = xy^3 + x^2y + y .

Ti sei espresso male, ma credo che volessi intendere che data la funzione di due variabili

$z = f(x, y) = xy^3 + x^2y + y = y (xy^2 + x^2 + 1) $

$z = f(x, y) = xy^3 + x^2y + y = y (xy^2 + x^2 + 1) $

Non riesci a risolvere il sistema seguente:

${((\del f)/(\del x) = 0), ((\del f)/(\del y) = 0):} $

${((\del f)/(\del x) = 0), ((\del f)/(\del y) = 0):} $

cioè

${(2 x y + y^3= 0), (1 + x^2 + 3 x y^2 = 0):} $

${(y(2 x + y^2) = 0), (1 + x^2 + 3 x y^2 = 0):} $

Dalla prima equazione si ottiene $y = 0 $ (che però introdotta nella seconda non porge soluzioni reali) dalla quale si ottiene $z_0 = f(x, 0) = 0 $ e $x = - y^2/2 $ (dalla quale si deduce che senz'altro $x < 0 $) che introdotta nella seconda equazione porge

$1 + y^4/4 - 3 y^4/2 = 0 $

$4 + y^4 - 6 y^4 = 0 $

$- 5y^4 + 4 = 0 $

$ 5y^4 - 4 = 0 $

Da quest'ultima equazione si ottengono le uniche due soluzioni reali $y_{1,2} = \pm sqrt(2)/\root[4]{5} $ dalle quali i due punti critici $P_1( - \sqrt5/5, sqrt(2)/\root[4]{5}) $ e $P_2( - \sqrt5/5, - sqrt(2)/\root[4]{5}) $