Determinare funzione armonica

[zornale]

Ciao, ho questo problema:

"Determinare una funzione armonica u(x,y) tale che u(1,0)=0 e u(0,1)=2"

Dovrebbe essere la soluzione di un problema di Dirchlet per l'equazione di Laplace, ma normalmente
vengono assegnate funzioni continue sul bordo. Qui invece ciò che è assegnato è il valore della funzione
(soluzione) in due punti di un non ben definito dominio.

Ho pensato allora di risolverla effettuando un cambio di coordinate, facendo passare la nuova ordinata
per i due punti dati, quindi l'eq. di Laplace si è ridotta ad una Ode del 2° ordine omogenea integrabile
direttamente (ode ai limiti). L'ho integrata ottenendo un polinomio del primo ordine nella ordinata nuova,
poi ho riportato tutto nelle vecchie coordinate x,y, ottenendo:

u(x,y)=-2/sqrt(2)*sqrt((1-y)^2+x^2)+2

la quale soddisfa le condizioni date, ma non soddisfa l'eq. di Laplace Uxx+Uyy=0

qualcuno sa aiutarmi?



grazie

[dissonance]

Ti posso dare un suggerimento: pensa alla prima classe di funzioni armoniche che ti può venire in mente, e cerca lì dentro la tua $u$. A occhio ne dovrebbero esistere infinite che verificano quelle condizioni.

P.S.: Benvenuto nel forum! Consulta questo link per un rapido briefing. Grazie.

[EDIT]Vedo che hai modificato il tuo topic mentre scrivevo. Adesso leggo e vedo se il suggerimento resta valido.
[RiEDIT]Si, direi che il suggerimento resta valido. Secondo me il problema è più semplice di come lo stai mettendo tu.

[zornale]

Ciao dissonance, grazie per l'immediata risposta. Dopo aver postato, ho letto il briefing e modificato
subito il messaggio inserendo un minimo di risultati ottenuti.

Ho anche pensato come suggerisci, di andare per tentativi. In effetti la prima cosa che ho fatto è stata
quella di provare ad inserire una forma quadratica del tipo ax^2+by^2+2cxy. Trovate le costanti a e b (a=0, b=2),
ma l'equazione di Laplace non è rispettata per questo valori: Uxx+Uyy=2a+2b=0 <=> a=-b


ciao

[dissonance]

Perché una forma quadratica? Una forma quadratica non ha obbligo di essere armonica. Prendi per esempio $x^2+y^2$: risulta che $Delta(x^2+y^2)=4$. Ma ci sei quasi... Che ne dici di una forma lineare? $u(x)=ax+by$ è armonica per ogni $a, b$.

[zornale]

Allora, seguendo il tuo suggerimento ho tentato con la forma:

u(x,y)=ax+by+c

u(1,0)=a+c=0
u(0,1)=b+c=2

ho scelto poi un valore arbitrario per c, c=1, questo ha portato a:

a=-1
b=1

dunque:

u(x,y)=-x+y+1

che infatti soddisfa sia le condizioni date, che l'equazione di Laplace.

grazie mille