Determinare f di un campo vettoriale per fa si che sia conservativo
Sera a tutti,
mi sono bloccato su questo esercizio, ho solo avuto idea di come impostarlo ma poi all'atto pratico non riesco ad andare oltre un certo punto.
La mia idea è stata di sfruttare Poincaré dato che è semplicemente connesso il dominio di F, tuttavia nellosvolgere le derivate parziali giungo a un punto in cui questa benedetta f non riesco a capire come trovarla.
Es:
Si determini $f\inC^1(RR)$, con f(x) diverso da 0, per ogni $x\inR$, in modo che il campo vettoriale $F(x,y)=(xf(x)y^2,-ylog|f(x)|)$ sia conservativo su $RR^2$. Dopo aver trovato tale f, si calcoli un potenziale di F.
Grazie
mi sono bloccato su questo esercizio, ho solo avuto idea di come impostarlo ma poi all'atto pratico non riesco ad andare oltre un certo punto.
La mia idea è stata di sfruttare Poincaré dato che è semplicemente connesso il dominio di F, tuttavia nellosvolgere le derivate parziali giungo a un punto in cui questa benedetta f non riesco a capire come trovarla.
Es:
Si determini $f\inC^1(RR)$, con f(x) diverso da 0, per ogni $x\inR$, in modo che il campo vettoriale $F(x,y)=(xf(x)y^2,-ylog|f(x)|)$ sia conservativo su $RR^2$. Dopo aver trovato tale f, si calcoli un potenziale di F.
Grazie
Risposte
Come noti giustamente, essendo $RR^2$ sempl. connesso, allora ti basta imporre che il $F$ sia irrotazionale.
In $RR^2$ un campo è irrotazionale nel suo dominio $D$ se $F_{1,y} =F_{2,x} \forall (x,y) \in D$
da cui, imponendo quella condizione dovrai risolvere un'ODE (semplice, ma non lineare), la cui soluzione $f(x)$ dipende da un parametro libero $c$, che definisce quindi una famiglia di funzioni.
La ricerca del potenziale la si ottiene da $\nabla \mathcal{U}=F$, i.e. $\mathcal{U}(x,y)_x=F_1, \mathcal{U}(x,y)_y=F_2$
In $RR^2$ un campo è irrotazionale nel suo dominio $D$ se $F_{1,y} =F_{2,x} \forall (x,y) \in D$
da cui, imponendo quella condizione dovrai risolvere un'ODE (semplice, ma non lineare), la cui soluzione $f(x)$ dipende da un parametro libero $c$, che definisce quindi una famiglia di funzioni.
La ricerca del potenziale la si ottiene da $\nabla \mathcal{U}=F$, i.e. $\mathcal{U}(x,y)_x=F_1, \mathcal{U}(x,y)_y=F_2$
Ciao feddy, esatto proprio così, ma posso chiamarlo irrotazionale essendo $RR^2$? Non varrebbe solo in $R^3$ il titolo "irrotazionale"?
A parte questo chiarimento sui nomi il problema è che mi sembra a meno di una costante $c$ -che mi esce dall'equazione differenziale a variabili separabili- io possa trovare una funzione che soddisfi la richiesta.
Se avessi voglia di svolgertelo prova a giungere alla soluzione di essa e dimmi cosa ne pensi sulcome proseguire.
Buona serata
A parte questo chiarimento sui nomi il problema è che mi sembra a meno di una costante $c$ -che mi esce dall'equazione differenziale a variabili separabili- io possa trovare una funzione che soddisfi la richiesta.
Se avessi voglia di svolgertelo prova a giungere alla soluzione di essa e dimmi cosa ne pensi sulcome proseguire.

Buona serata
Non sono specificate altre condizioni, quindi la costante $c$ può rimanere.
Riguardo alla tua domanda, ti basta leggere l'enunciato in $RR^n$ del lemma di Poincarè per convincerti che non vale solo per $n=3$, che ovviamente è il caso più interessante viste le applicazioni.
Ovviamente non mi metterò a svolgerti l'esercizio, soprattutto perché ormai è finito, e non è questo lo spirito di un forum.
Digitando su google "calcolare potenziale campo conservativo", ecco un esempio (http://calvino.polito.it/~rolando/An2i_exs4_campi.conservativi) identico al tuo...
Riguardo alla tua domanda, ti basta leggere l'enunciato in $RR^n$ del lemma di Poincarè per convincerti che non vale solo per $n=3$, che ovviamente è il caso più interessante viste le applicazioni.
Ovviamente non mi metterò a svolgerti l'esercizio, soprattutto perché ormai è finito, e non è questo lo spirito di un forum.
Digitando su google "calcolare potenziale campo conservativo", ecco un esempio (http://calvino.polito.it/~rolando/An2i_exs4_campi.conservativi) identico al tuo...
No ma non volevo la soluzione, certo, lo dicevo perché giungevo al punto di avere c, e senza averlo di fronte è difficile far capire il dubbio. Dicevo per farti capire il mio dubbio dove fosse e perché non vorrei aver sbagliato qualcosa.
In sostanza arrivo alla differenziale: $(f'(x))/f^2(x)=-2x$ la quale svolta porta a $y=1/(x^2+c)$
Tu dici di portarmi dietro quella c per calcolare il potenziale di F?
Mi devo anche essere spiegato male sul lemma, intendevo dire se posso chiamarlo "irrotazionale" essendo il rotore per definizione in $R^3$
PS: grazie per il link, ci guardo
In sostanza arrivo alla differenziale: $(f'(x))/f^2(x)=-2x$ la quale svolta porta a $y=1/(x^2+c)$
Tu dici di portarmi dietro quella c per calcolare il potenziale di F?
Mi devo anche essere spiegato male sul lemma, intendevo dire se posso chiamarlo "irrotazionale" essendo il rotore per definizione in $R^3$
PS: grazie per il link, ci guardo

Quando "arrivi alla differenziale", e risolvi l'equazione diff, ottieni $f(x)=\frac{1}{x^2+c}$. Il testo però richiede $f \in C^{1}(RR)$, quindi alcuni valori di $c$ non vanno bene, in particolare per $c<0$ hai che a $x_{1,2}=+- \sqrt{c}$ la funzione manco è continua...
"sgrisolo":
Mi devo anche essere spiegato male sul lemma, intendevo dire se posso chiamarlo "irrotazionale" essendo il rotore per definizione in $R^3$
Buona osservazione. In generale infatti non si parla di "campi irrotazionali" ma di "forme differenziali chiuse". Le forme differenziali sono uno strumento inventato esattamente per generalizzare il calcolo vettoriale a spazi di tutte le dimensioni.
Comunque, se \(F\colon \Omega \subset \mathbb R^2\to \mathbb R^2\) è un campo vettoriale su un aperto di \(\mathbb R^2\), allora si considera implicitamente la sua estensione a un campo tridimensionale;
\[
\tilde{F}(x, y, z)=(F_1(x, y), F_2(x, y), 0), \]
e quindi si può parlare di "rotore" anche in questo caso. L'unica componente del rotore di \(\tilde F\) che non si annulla è quella rispetto all'asse delle z, ed è quindi l'unica che importa.
Alla fine otterrai $ f(x,y)=y^2ln(x^2+c)+k $ con $c>0$.
Il potenziale del segmento fra (0,0) e (1,1) è $ln(sqrt(1+c))$
Il potenziale del segmento fra (0,0) e (1,1) è $ln(sqrt(1+c))$