Determinare f di un campo vettoriale per fa si che sia conservativo

sgrisolo
Sera a tutti,

mi sono bloccato su questo esercizio, ho solo avuto idea di come impostarlo ma poi all'atto pratico non riesco ad andare oltre un certo punto.
La mia idea è stata di sfruttare Poincaré dato che è semplicemente connesso il dominio di F, tuttavia nellosvolgere le derivate parziali giungo a un punto in cui questa benedetta f non riesco a capire come trovarla.

Es:
Si determini $f\inC^1(RR)$, con f(x) diverso da 0, per ogni $x\inR$, in modo che il campo vettoriale $F(x,y)=(xf(x)y^2,-ylog|f(x)|)$ sia conservativo su $RR^2$. Dopo aver trovato tale f, si calcoli un potenziale di F.

Grazie

Risposte
feddy
Come noti giustamente, essendo $RR^2$ sempl. connesso, allora ti basta imporre che il $F$ sia irrotazionale.
In $RR^2$ un campo è irrotazionale nel suo dominio $D$ se $F_{1,y} =F_{2,x} \forall (x,y) \in D$

da cui, imponendo quella condizione dovrai risolvere un'ODE (semplice, ma non lineare), la cui soluzione $f(x)$ dipende da un parametro libero $c$, che definisce quindi una famiglia di funzioni.

La ricerca del potenziale la si ottiene da $\nabla \mathcal{U}=F$, i.e. $\mathcal{U}(x,y)_x=F_1, \mathcal{U}(x,y)_y=F_2$

sgrisolo
Ciao feddy, esatto proprio così, ma posso chiamarlo irrotazionale essendo $RR^2$? Non varrebbe solo in $R^3$ il titolo "irrotazionale"?

A parte questo chiarimento sui nomi il problema è che mi sembra a meno di una costante $c$ -che mi esce dall'equazione differenziale a variabili separabili- io possa trovare una funzione che soddisfi la richiesta.
Se avessi voglia di svolgertelo prova a giungere alla soluzione di essa e dimmi cosa ne pensi sulcome proseguire. :)

Buona serata

feddy
Non sono specificate altre condizioni, quindi la costante $c$ può rimanere.

Riguardo alla tua domanda, ti basta leggere l'enunciato in $RR^n$ del lemma di Poincarè per convincerti che non vale solo per $n=3$, che ovviamente è il caso più interessante viste le applicazioni.
Ovviamente non mi metterò a svolgerti l'esercizio, soprattutto perché ormai è finito, e non è questo lo spirito di un forum.

Digitando su google "calcolare potenziale campo conservativo", ecco un esempio (http://calvino.polito.it/~rolando/An2i_exs4_campi.conservativi) identico al tuo...

sgrisolo
No ma non volevo la soluzione, certo, lo dicevo perché giungevo al punto di avere c, e senza averlo di fronte è difficile far capire il dubbio. Dicevo per farti capire il mio dubbio dove fosse e perché non vorrei aver sbagliato qualcosa.

In sostanza arrivo alla differenziale: $(f'(x))/f^2(x)=-2x$ la quale svolta porta a $y=1/(x^2+c)$

Tu dici di portarmi dietro quella c per calcolare il potenziale di F?

Mi devo anche essere spiegato male sul lemma, intendevo dire se posso chiamarlo "irrotazionale" essendo il rotore per definizione in $R^3$

PS: grazie per il link, ci guardo :)

feddy
Quando "arrivi alla differenziale", e risolvi l'equazione diff, ottieni $f(x)=\frac{1}{x^2+c}$. Il testo però richiede $f \in C^{1}(RR)$, quindi alcuni valori di $c$ non vanno bene, in particolare per $c<0$ hai che a $x_{1,2}=+- \sqrt{c}$ la funzione manco è continua...

dissonance
"sgrisolo":

Mi devo anche essere spiegato male sul lemma, intendevo dire se posso chiamarlo "irrotazionale" essendo il rotore per definizione in $R^3$


Buona osservazione. In generale infatti non si parla di "campi irrotazionali" ma di "forme differenziali chiuse". Le forme differenziali sono uno strumento inventato esattamente per generalizzare il calcolo vettoriale a spazi di tutte le dimensioni.

Comunque, se \(F\colon \Omega \subset \mathbb R^2\to \mathbb R^2\) è un campo vettoriale su un aperto di \(\mathbb R^2\), allora si considera implicitamente la sua estensione a un campo tridimensionale;
\[
\tilde{F}(x, y, z)=(F_1(x, y), F_2(x, y), 0), \]
e quindi si può parlare di "rotore" anche in questo caso. L'unica componente del rotore di \(\tilde F\) che non si annulla è quella rispetto all'asse delle z, ed è quindi l'unica che importa.

Bokonon
Alla fine otterrai $ f(x,y)=y^2ln(x^2+c)+k $ con $c>0$.
Il potenziale del segmento fra (0,0) e (1,1) è $ln(sqrt(1+c))$

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